MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd3 Structured version   Unicode version

Theorem harmonicbnd3 20847
Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
Distinct variable group:    m, N

Proof of Theorem harmonicbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 10224 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 0re 9092 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 emre 20845 . . . . 5  |-  gamma  e.  RR
4 2re 10070 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
5 ere 12692 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR
6 egt2lt3 12806 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
76simpli 446 . . . . . . . . 9  |-  2  <  _e
84, 5, 7ltleii 9197 . . . . . . . 8  |-  2  <_  _e
9 2rp 10618 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
10 epr 12808 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR+
11 logleb 20499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  _e  e.  RR+ )  ->  (
2  <_  _e  <->  ( log `  2 )  <_  ( log `  _e ) ) )
129, 10, 11mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( 2  <_  _e  <->  ( log `  2 )  <_  ( log `  _e ) )
138, 12mpbi 201 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  <_ 
( log `  _e )
14 loge 20482 . . . . . . 7  |-  ( log `  _e )  =  1
1513, 14breqtri 4236 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  <_ 
1
16 1re 9091 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
17 relogcl 20474 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
189, 17ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  e.  RR
1916, 18subge0i 9581 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( 1  -  ( log `  2
) )  <->  ( log `  2 )  <_  1
)
2015, 19mpbir 202 . . . . 5  |-  0  <_  ( 1  -  ( log `  2 ) )
213leidi 9562 . . . . 5  |-  gamma  <_  gamma
22 iccss 10979 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\ 
gamma  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  -  ( log `  2 ) )  /\  gamma  <_  gamma )
)  ->  ( (
1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  C_  (
0 [,] gamma )
)
232, 3, 20, 21, 22mp4an 656 . . . 4  |-  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma )  C_  (
0 [,] gamma )
24 harmonicbnd2 20844 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( ( 1  -  ( log `  2 ) ) [,] gamma ) )
2523, 24sseldi 3347 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
26 oveq2 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... 0
) )
27 fz10 11076 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2485 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  (/) )
2928sumeq1d 12496 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  (/)  ( 1  /  m ) )
30 sum0 12516 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  (/)  ( 1  /  m )  =  0
3129, 30syl6eq 2485 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  =  0 )
32 oveq1 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
33 0p1e1 10094 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3432, 33syl6eq 2485 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  1 )
3534fveq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  =  ( log `  1
) )
36 log1 20481 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
3735, 36syl6eq 2485 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  =  0 )
3831, 37oveq12d 6100 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
39 0cn 9085 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
4039subidi 9372 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4138, 40syl6eq 2485 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  =  0 )
422leidi 9562 . . . . 5  |-  0  <_  0
43 emgt0 20846 . . . . . 6  |-  0  <  gamma
442, 3, 43ltleii 9197 . . . . 5  |-  0  <_ 
gamma
452, 3elicc2i 10977 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,]
gamma )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_ 
0  /\  0  <_  gamma
) )
462, 42, 44, 45mpbir3an 1137 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] gamma )
4741, 46syl6eqel 2525 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
4825, 47jaoi 370 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
491, 48sylbi 189 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   (/)c0 3629   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292    / cdiv 9678   NNcn 10001   2c2 10050   3c3 10051   NN0cn0 10222   RR+crp 10613   [,]cicc 10920   ...cfz 11044   sum_csu 12480   _eceu 12666   logclog 20453   gammacem 20831
This theorem is referenced by:  harmoniclbnd  20848  harmonicbnd4  20850  logdivbnd  21251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-e 12672  df-sin 12673  df-cos 12674  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755  df-log 20455  df-em 20832
  Copyright terms: Public domain W3C validator