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Theorem harmonicbnd4 20320
Description: The asymptotic behavior of  sum_ m  <_  A ,  1  /  m  =  log A  +  gamma  +  O ( 1  /  A ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  /  A ) )
Distinct variable group:    A, m

Proof of Theorem harmonicbnd4
StepHypRef Expression
1 fzfid 11051 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 10835 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  m  e.  NN )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
43nnrecred 9807 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
51, 4fsumrecl 12223 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
65recnd 8877 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
7 relogcl 19948 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
87recnd 8877 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
9 emre 20315 . . . . . 6  |-  gamma  e.  RR
109a1i 10 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  e.  RR )
1110recnd 8877 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  e.  CC )
126, 8, 11subsub4d 9204 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  gamma )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )
1312fveq2d 5545 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  gamma ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  gamma )
) ) )
14 rpreccl 10393 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
1514rpred 10406 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR )
16 resubcl 9127 . . . . 5  |-  ( (
gamma  e.  RR  /\  (
1  /  A )  e.  RR )  -> 
( gamma  -  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
179, 15, 16sylancr 644 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
18 rprege0 10384 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
19 flge0nn0 10964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
2018, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e. 
NN0 )
21 nn0p1nn 10019 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  NN )
2220, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  NN )
2322nnrpd 10405 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
24 relogcl 19948 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
2523, 24syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
265, 25resubcld 9227 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
275, 7resubcld 9227 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  e.  RR )
2822nnrecred 9807 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e.  RR )
29 fzfid 11051 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e. 
Fin )
30 elfznn 10835 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
3130adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
3231nnrecred 9807 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
3329, 32fsumrecl 12223 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )
3433, 25resubcld 9227 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
35 harmonicbnd 20313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 ) )
3622, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
37 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
389, 37elicc2i 10732 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 )  <->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  RR  /\ 
gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  <_  1 ) )
3938simp2bi 971 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 )  ->  gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
4036, 39syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ) )
41 rpre 10376 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
42 fllep1 10949 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
44 rpregt0 10383 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
4522nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
4622nngt0d 9805 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
47 lerec 9654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  <_  ( 1  /  A ) ) )
4844, 45, 46, 47syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  A
) ) )
4943, 48mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  A
) )
5010, 28, 34, 15, 40, 49le2subd 9407 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
5133recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  CC )
5225recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  CC )
5328recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e.  CC )
5451, 52, 53sub32d 9205 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  -  (
1  /  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
55 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5622, 55syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5732recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
58 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5956, 57, 58fsumm1 12232 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6020nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  CC )
61 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
62 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  A ) )
6360, 61, 62sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  A
) )
6463oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
6564sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( ( |_ `  A )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
6665oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6759, 66eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6867oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  +  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
696, 53pncand 9174 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
7068, 69eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
7170oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
7254, 71eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  -  (
1  /  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
7350, 72breqtrd 4063 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
74 logleb 19973 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
7523, 74mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
7643, 75mpbid 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
777, 25, 5, 76lesub2dd 9405 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) ) )
7817, 26, 27, 73, 77letrd 8989 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) ) )
7927, 15resubcld 9227 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  e.  RR )
8015recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  CC )
816, 8, 80subsub4d 9204 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) ) )
827, 15readdcld 8878 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  A )  +  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
83 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR+ )
8423, 83relogdivd 19993 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  =  ( ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  -  ( log `  A ) ) )
85 rerpdivcl 10397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
)  e.  RR )
8645, 85mpancom 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  e.  RR )
8737a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
8887, 15readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
8915reefcld 12385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  A
) )  e.  RR )
9061a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  CC )
91 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
92 divdir 9463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  +  ( 1  /  A ) ) )
9360, 90, 91, 92syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  A )  +  ( 1  /  A ) ) )
94 reflcl 10944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
9541, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  RR )
96 rerpdivcl 10397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  A )  /  A
)  e.  RR )
9795, 96mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  /  A )  e.  RR )
98 flle 10947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
9941, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_  A )
100 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
101100mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
10299, 101breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_ 
( A  x.  1 ) )
103 ledivmul 9645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  /  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <_  ( A  x.  1 ) ) )
10495, 87, 44, 103syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <_  ( A  x.  1 ) ) )
105102, 104mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  /  A )  <_ 
1 )
10697, 87, 15, 105leadd1dd 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  +  ( 1  /  A ) )  <_ 
( 1  +  ( 1  /  A ) ) )
10793, 106eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  <_ 
( 1  +  ( 1  /  A ) ) )
108 efgt1p 12411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  < 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
10914, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  < 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
11088, 89, 109ltled 8983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  <_ 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
11186, 88, 89, 107, 110letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  <_ 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
112 rpdivcl 10392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A )  e.  RR+ )
11323, 112mpancom 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  e.  RR+ )
11415rpefcld 12401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  A
) )  e.  RR+ )
115113, 114logled 19994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A )  <_  ( exp `  (
1  /  A ) )  <->  ( log `  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A ) )  <_  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) ) ) )
116111, 115mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  <_  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) ) )
11715relogefd 19995 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) )  =  ( 1  /  A ) )
118116, 117breqtrd 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  <_  (
1  /  A ) )
11984, 118eqbrtrrd 4061 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  -  ( log `  A
) )  <_  (
1  /  A ) )
12025, 7, 15lesubadd2d 9387 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  -  ( log `  A ) )  <_ 
( 1  /  A
)  <->  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  <_  ( ( log `  A )  +  ( 1  /  A
) ) ) )
121119, 120mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  <_  (
( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) )
12225, 82, 5, 121lesub2dd 9405 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
12381, 122eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
124 harmonicbnd3 20317 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
12520, 124syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
126 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
127126, 9elicc2i 10732 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  <->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma ) )
128127simp3bi 972 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma )
129125, 128syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma )
13079, 26, 10, 123, 129letrd 8989 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  <_  gamma )
13127, 15, 10lesubaddd 9385 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  ( 1  /  A
) )  <_  gamma  <->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  <_  ( gamma  +  ( 1  /  A
) ) ) )
132130, 131mpbid 201 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  <_  ( gamma  +  ( 1  /  A
) ) )
13327, 10, 15absdifled 11933 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  gamma ) )  <_  ( 1  /  A )  <->  ( ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  <_ 
( gamma  +  ( 1  /  A ) ) ) ) )
13478, 132, 133mpbir2and 888 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  gamma ) )  <_  (
1  /  A ) )
13513, 134eqbrtrrd 4061 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  /  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   [,]cicc 10675   ...cfz 10798   |_cfl 10940   abscabs 11735   sum_csu 12174   expce 12359   logclog 19928   gammacem 20302
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  20696  mulog2sumlem1  20699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-em 20303
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