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Theorem harmonicbnd4 20841
Description: The asymptotic behavior of  sum_ m  <_  A ,  1  /  m  =  log A  +  gamma  +  O ( 1  /  A ). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  /  A ) )
Distinct variable group:    A, m

Proof of Theorem harmonicbnd4
StepHypRef Expression
1 fzfid 11304 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11072 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  m  e.  NN )
32adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
43nnrecred 10037 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
51, 4fsumrecl 12520 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
65recnd 9106 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
7 relogcl 20465 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
87recnd 9106 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
9 emre 20836 . . . . . 6  |-  gamma  e.  RR
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  e.  RR )
1110recnd 9106 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  e.  CC )
126, 8, 11subsub4d 9434 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  gamma )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )
1312fveq2d 5724 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  gamma ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  gamma )
) ) )
14 rpreccl 10627 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
1514rpred 10640 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR )
16 resubcl 9357 . . . . 5  |-  ( (
gamma  e.  RR  /\  (
1  /  A )  e.  RR )  -> 
( gamma  -  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
179, 15, 16sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
18 rprege0 10618 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
19 flge0nn0 11217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e. 
NN0 )
21 nn0p1nn 10251 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  NN )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  NN )
2322nnrpd 10639 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
24 relogcl 20465 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
265, 25resubcld 9457 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
275, 7resubcld 9457 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  e.  RR )
2822nnrecred 10037 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e.  RR )
29 fzfid 11304 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e. 
Fin )
30 elfznn 11072 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
3130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
3231nnrecred 10037 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
3329, 32fsumrecl 12520 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )
3433, 25resubcld 9457 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
35 harmonicbnd 20834 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 ) )
3622, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
37 1re 9082 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
389, 37elicc2i 10968 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 )  <->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  RR  /\ 
gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  <_  1 ) )
3938simp2bi 973 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 )  ->  gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
4036, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  gamma  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ) )
41 rpre 10610 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
42 fllep1 11202 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
44 rpregt0 10617 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
4522nnred 10007 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
4622nngt0d 10035 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
47 lerec 9884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  <_  ( 1  /  A ) ) )
4844, 45, 46, 47syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  A
) ) )
4943, 48mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  A
) )
5010, 28, 34, 15, 40, 49le2subd 9637 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( ( sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
5133recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  CC )
5225recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  e.  CC )
5328recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )  e.  CC )
5451, 52, 53sub32d 9435 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  -  (
1  /  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
55 nnuz 10513 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5622, 55syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5732recnd 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
58 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5956, 57, 58fsumm1 12529 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6020nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  CC )
61 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
62 pncan 9303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  A ) )
6360, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  A
) )
6463oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
6564sumeq1d 12487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( ( |_ `  A )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
6665oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6759, 66eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
6867oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  +  ( 1  /  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
696, 53pncand 9404 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
7068, 69eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  /  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m ) )
7170oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( 1  / 
( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
7254, 71eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  -  (
1  /  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
7350, 72breqtrd 4228 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
74 logleb 20490 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
7523, 74mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  <_  ( ( |_
`  A )  +  1 )  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) ) )
7643, 75mpbid 202 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
777, 25, 5, 76lesub2dd 9635 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) ) )
7817, 26, 27, 73, 77letrd 9219 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) ) )
7927, 15resubcld 9457 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  e.  RR )
8015recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  CC )
816, 8, 80subsub4d 9434 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) ) )
827, 15readdcld 9107 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  A )  +  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
83 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR+ )
8423, 83relogdivd 20513 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  =  ( ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  -  ( log `  A ) ) )
85 rerpdivcl 10631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
)  e.  RR )
8645, 85mpancom 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  e.  RR )
8737a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
8887, 15readdcld 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
8915reefcld 12682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  A
) )  e.  RR )
9061a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e.  CC )
91 rpcnne0 10621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
92 divdir 9693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  +  ( 1  /  A ) ) )
9360, 90, 91, 92syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  A )  +  ( 1  /  A ) ) )
94 reflcl 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
9541, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  RR )
96 rerpdivcl 10631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  A )  /  A
)  e.  RR )
9795, 96mpancom 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  /  A )  e.  RR )
98 flle 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
9941, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_  A )
100 rpcn 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
101100mulid1d 9097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
10299, 101breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_ 
( A  x.  1 ) )
103 ledivmul 9875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  /  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <_  ( A  x.  1 ) ) )
10495, 87, 44, 103syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <_  ( A  x.  1 ) ) )
105102, 104mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  /  A )  <_ 
1 )
10697, 87, 15, 105leadd1dd 9632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  /  A )  +  ( 1  /  A ) )  <_ 
( 1  +  ( 1  /  A ) ) )
10793, 106eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  <_ 
( 1  +  ( 1  /  A ) ) )
108 efgt1p 12708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  < 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
10914, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  < 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
11088, 89, 109ltled 9213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  A ) )  <_ 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
11186, 88, 89, 107, 110letrd 9219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  <_ 
( exp `  (
1  /  A ) ) )
112 rpdivcl 10626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A )  e.  RR+ )
11323, 112mpancom 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  A
)  +  1 )  /  A )  e.  RR+ )
11415rpefcld 12698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( exp `  ( 1  /  A
) )  e.  RR+ )
115113, 114logled 20514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A )  <_  ( exp `  (
1  /  A ) )  <->  ( log `  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  /  A ) )  <_  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) ) ) )
116111, 115mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  <_  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) ) )
11715relogefd 20515 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( exp `  (
1  /  A ) ) )  =  ( 1  /  A ) )
118116, 117breqtrd 4228 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  /  A
) )  <_  (
1  /  A ) )
11984, 118eqbrtrrd 4226 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  -  ( log `  A
) )  <_  (
1  /  A ) )
12025, 7, 15lesubadd2d 9617 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  -  ( log `  A ) )  <_ 
( 1  /  A
)  <->  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  <_  ( ( log `  A )  +  ( 1  /  A
) ) ) )
121119, 120mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  <_  (
( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) )
12225, 82, 5, 121lesub2dd 9635 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  A
)  +  ( 1  /  A ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
12381, 122eqbrtrd 4224 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
124 harmonicbnd3 20838 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
12520, 124syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma ) )
126 0re 9083 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
127126, 9elicc2i 10968 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  <->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma ) )
128127simp3bi 974 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( |_ `  A
)  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma )
129125, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )  <_  gamma )
13079, 26, 10, 123, 129letrd 9219 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  (
1  /  A ) )  <_  gamma )
13127, 15, 10lesubaddd 9615 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  ( 1  /  A
) )  <_  gamma  <->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  <_  ( gamma  +  ( 1  /  A
) ) ) )
132130, 131mpbid 202 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A ) )  <_  ( gamma  +  ( 1  /  A
) ) )
13327, 10, 15absdifled 12229 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  A
) )  -  gamma ) )  <_  ( 1  /  A )  <->  ( ( gamma  -  ( 1  /  A ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  /\  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  <_ 
( gamma  +  ( 1  /  A ) ) ) ) )
13478, 132, 133mpbir2and 889 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  A ) )  -  gamma ) )  <_  (
1  /  A ) )
13513, 134eqbrtrrd 4226 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  A )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  /  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   [,]cicc 10911   ...cfz 11035   |_cfl 11193   abscabs 12031   sum_csu 12471   expce 12656   logclog 20444   gammacem 20822
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  21217  mulog2sumlem1  21220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-e 12663  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-em 20823
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