MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harval Unicode version

Theorem harval 7463
Description: Function value of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harval  |-  ( X  e.  V  ->  (har `  X )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  X } )
Distinct variable group:    y, X
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem harval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2907 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
2 breq2 4157 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  X ) )
32rabbidv 2891 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  { y  e.  On  |  y  ~<_  x }  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  X } )
4 df-har 7459 . . 3  |- har  =  ( x  e.  _V  |->  { y  e.  On  | 
y  ~<_  x } )
5 hartogs 7446 . . 3  |-  ( x  e.  _V  ->  { y  e.  On  |  y  ~<_  x }  e.  On )
63, 4, 5fvmpt3 5747 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  (har `  X )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  X } )
71, 6syl 16 1  |-  ( X  e.  V  ->  (har `  X )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  X } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653   _Vcvv 2899   class class class wbr 4153   Oncon0 4522   ` cfv 5394    ~<_ cdom 7043  harchar 7457
This theorem is referenced by:  elharval  7464  harword  7466  harwdom  7491  harval2  7817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-riota 6485  df-recs 6569  df-en 7046  df-dom 7047  df-oi 7412  df-har 7459
  Copyright terms: Public domain W3C validator