Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harwdom Structured version   Unicode version

Theorem harwdom 7550
 Description: The Hartogs function is weakly dominated by . This follows from a more precise analysis of the bound used in hartogs 7505 to prove that har is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
harwdom har *

Proof of Theorem harwdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . 6 OrdIso OrdIso
2 eqid 2435 . . . . . 6
31, 2hartogslem1 7503 . . . . 5 OrdIso OrdIso OrdIso
43simp2i 967 . . . 4 OrdIso
53simp1i 966 . . . . 5 OrdIso
6 xpexg 4981 . . . . . . 7
76anidms 627 . . . . . 6
8 pwexg 4375 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
10 ssexg 4341 . . . . 5 OrdIso OrdIso
115, 9, 10sylancr 645 . . . 4 OrdIso
12 funex 5955 . . . 4 OrdIso OrdIso OrdIso
134, 11, 12sylancr 645 . . 3 OrdIso
14 funfn 5474 . . . . . 6 OrdIso OrdIso OrdIso
154, 14mpbi 200 . . . . 5 OrdIso OrdIso
1615a1i 11 . . . 4 OrdIso OrdIso
173simp3i 968 . . . . 5 OrdIso
18 harval 7522 . . . . 5 har
1917, 18eqtr4d 2470 . . . 4 OrdIso har
20 df-fo 5452 . . . 4 OrdIso OrdIso har OrdIso OrdIso OrdIso har
2116, 19, 20sylanbrc 646 . . 3 OrdIso OrdIso har
22 fowdom 7531 . . 3 OrdIso OrdIso OrdIso har har * OrdIso
2313, 21, 22syl2anc 643 . 2 har * OrdIso
24 ssdomg 7145 . . . 4 OrdIso OrdIso
259, 5, 24ee10 1385 . . 3 OrdIso
26 domwdom 7534 . . 3 OrdIso OrdIso *
2725, 26syl 16 . 2 OrdIso *
28 wdomtr 7535 . 2 har * OrdIso OrdIso * har *
2923, 27, 28syl2anc 643 1 har *
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  cpw 3791   class class class wbr 4204  copab 4257   cep 4484   cid 4485   wwe 4532  con0 4573   cxp 4868   cdm 4870   crn 4871   cres 4872   wfun 5440   wfn 5441  wfo 5444  cfv 5446   cdom 7099  OrdIsocoi 7470  harchar 7516   * cwdom 7517 This theorem is referenced by:  gchhar  8538 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-oi 7471  df-har 7518  df-wdom 7519
 Copyright terms: Public domain W3C validator