MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harword Unicode version

Theorem harword 7279
Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harword  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  C_  (har `  Y
) )

Proof of Theorem harword
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domtr 6914 . . . . 5  |-  ( ( y  ~<_  X  /\  X  ~<_  Y )  ->  y  ~<_  Y )
21expcom 424 . . . 4  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( y  ~<_  X  ->  y  ~<_  Y ) )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( X  ~<_  Y  /\  y  e.  On )  ->  (
y  ~<_  X  ->  y  ~<_  Y ) )
43ss2rabdv 3254 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  { y  e.  On  |  y  ~<_  X }  C_  { y  e.  On  |  y  ~<_  Y } )
5 reldom 6869 . . . 4  |-  Rel  ~<_
65brrelexi 4729 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  X  e.  _V )
7 harval 7276 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (har `  X )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  X } )
86, 7syl 15 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  =  { y  e.  On  |  y  ~<_  X } )
95brrelex2i 4730 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  Y  e.  _V )
10 harval 7276 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  (har `  Y )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  Y } )
119, 10syl 15 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  Y
)  =  { y  e.  On  |  y  ~<_  Y } )
124, 8, 113sstr4d 3221 1  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  C_  (har `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861  harchar 7270
This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-en 6864  df-dom 6865  df-oi 7225  df-har 7272
  Copyright terms: Public domain W3C validator