MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harword Unicode version

Theorem harword 7468
Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harword  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  C_  (har `  Y
) )

Proof of Theorem harword
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domtr 7098 . . . . 5  |-  ( ( y  ~<_  X  /\  X  ~<_  Y )  ->  y  ~<_  Y )
21expcom 425 . . . 4  |-  ( X  ~<_  Y  ->  ( y  ~<_  X  ->  y  ~<_  Y ) )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( X  ~<_  Y  /\  y  e.  On )  ->  (
y  ~<_  X  ->  y  ~<_  Y ) )
43ss2rabdv 3369 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  { y  e.  On  |  y  ~<_  X }  C_  { y  e.  On  |  y  ~<_  Y } )
5 reldom 7053 . . . 4  |-  Rel  ~<_
65brrelexi 4860 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  X  e.  _V )
7 harval 7465 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (har `  X )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  X } )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  =  { y  e.  On  |  y  ~<_  X } )
95brrelex2i 4861 . . 3  |-  ( X  ~<_  Y  ->  Y  e.  _V )
10 harval 7465 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  (har `  Y )  =  {
y  e.  On  | 
y  ~<_  Y } )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  Y
)  =  { y  e.  On  |  y  ~<_  Y } )
124, 8, 113sstr4d 3336 1  |-  ( X  ~<_  Y  ->  (har `  X
)  C_  (har `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2655   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   class class class wbr 4155   Oncon0 4524   ` cfv 5396    ~<_ cdom 7045  harchar 7459
This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8243
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-riota 6487  df-recs 6571  df-en 7048  df-dom 7049  df-oi 7414  df-har 7461
  Copyright terms: Public domain W3C validator