MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Unicode version

Theorem hash0 11677
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0  |-  ( # `  (/) )  =  0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . 2  |-  (/)  =  (/)
2 0ex 4364 . . 3  |-  (/)  e.  _V
3 hasheq0 11675 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( # `
 (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( (
# `  (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) )
51, 4mpbir 202 1  |-  ( # `  (/) )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962   (/)c0 3613   ` cfv 5483   0cc0 9021   #chash 11649
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  11679  hashge0  11692  elprchashprn2  11698  hashle00  11700  hash1  11704  hashsnlei  11711  hashgt12el  11713  hashgt12el2  11714  hashfzo  11725  hashxplem  11727  hashmap  11729  hashbc  11733  hashf1lem2  11736  hashf1  11737  ccatlid  11779  ccatrid  11780  s1nz  11790  rev0  11827  fsumconst  12604  incexclem  12647  incexc  12648  prmreclem4  13318  prmreclem5  13319  0hashbc  13406  ramz2  13423  efginvrel2  15390  efgredleme  15406  efgcpbllemb  15418  frgpnabllem1  15515  gsumconst  15563  ltbwe  16564  fta1g  20121  fta1  20256  birthdaylem3  20823  ppi1  20978  musum  21007  rpvmasum  21251  usgraedgprv  21427  usgra1v  21440  usgrafisindb0  21453  usgrafisindb1  21454  0wlk  21576  0trl  21577  0wlkon  21578  0pth  21601  0crct  21644  0cycl  21645  vdgr0  21702  vdgr1b  21706  vdgr1a  21708  vdusgraval  21709  eupath  21734  esumcst  24486  cntmeas  24611  ballotlemfval0  24784  derangsn  24887  subfacp1lem6  24902  fprodconst  25333  psgnunilem2  27433  psgnunilem4  27435  hashgcdeq  27532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-hash 11650
  Copyright terms: Public domain W3C validator