MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbccl Unicode version

Theorem hashbccl 13050
Description: The binomial set is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
Assertion
Ref Expression
hashbccl  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A C N )  e.  Fin )
Distinct variable groups:    a, b,
i    A, a, i    N, a, i
Allowed substitution hints:    A( b)    C( i, a, b)    N( b)

Proof of Theorem hashbccl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . 3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
21hashbcval 13049 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A C N )  =  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  N } )
3 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  Fin )
4 pwfi 7151 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
53, 4sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  ~P A  e.  Fin )
6 ssrab2 3258 . . 3  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  N }  C_  ~P A
7 ssfi 7083 . . 3  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  N }  C_ 
~P A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  N }  e.  Fin )
85, 6, 7sylancl 643 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  N }  e.  Fin )
92, 8eqeltrd 2357 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A C N )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Fincfn 6863   NN0cn0 9965   #chash 11337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator