MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbccl Structured version   Unicode version

Theorem hashbccl 13371
Description: The binomial set is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
Assertion
Ref Expression
hashbccl  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A C N )  e.  Fin )
Distinct variable groups:    a, b,
i    A, a, i    N, a, i
Allowed substitution hints:    A( b)    C( i, a, b)    N( b)

Proof of Theorem hashbccl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . 3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
21hashbcval 13370 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A C N )  =  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  N } )
3 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  Fin )
4 pwfi 7402 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
53, 4sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  ~P A  e.  Fin )
6 ssrab2 3428 . . 3  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  N }  C_  ~P A
7 ssfi 7329 . . 3  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  N }  C_ 
~P A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  N }  e.  Fin )
85, 6, 7sylancl 644 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  N }  e.  Fin )
92, 8eqeltrd 2510 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A C N )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   Fincfn 7109   NN0cn0 10221   #chash 11618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator