MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbccl Unicode version

Theorem hashbccl 13066
Description: The binomial set is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
Assertion
Ref Expression
hashbccl  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A C N )  e.  Fin )
Distinct variable groups:    a, b,
i    A, a, i    N, a, i
Allowed substitution hints:    A( b)    C( i, a, b)    N( b)

Proof of Theorem hashbccl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . 3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
21hashbcval 13065 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A C N )  =  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  N } )
3 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  Fin )
4 pwfi 7167 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
53, 4sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  ~P A  e.  Fin )
6 ssrab2 3271 . . 3  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  N }  C_  ~P A
7 ssfi 7099 . . 3  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  N }  C_ 
~P A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  N }  e.  Fin )
85, 6, 7sylancl 643 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  N }  e.  Fin )
92, 8eqeltrd 2370 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A C N )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Fincfn 6879   NN0cn0 9981   #chash 11353
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator