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Theorem hashbclem 11691
Description: Lemma for hashbc 11692: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hashbc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashbc.2  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashbc.3  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } ) )
hashbc.4  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
hashbclem  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
Distinct variable groups:    x, j,
z, A    j, K, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( z, j)    K( z)

Proof of Theorem hashbclem
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashbc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
2 hashbc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } ) )
3 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  (
( # `  A )  _C  j )  =  ( ( # `  A
)  _C  K ) )
4 eqeq2 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  K  ->  (
( # `  x )  =  j  <->  ( # `  x
)  =  K ) )
54rabbidv 2940 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  j }  =  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
)
65fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( # `
 { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  j } )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
73, 6eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  <->  ( ( # `  A )  _C  K
)  =  ( # `  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) ) )
87rspcv 3040 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  ->  ( ( # `
 A )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  K } ) ) )
91, 2, 8sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  K )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
10 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
11 sspwb 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  ( A  u.  { z } )  <->  ~P A  C_ 
~P ( A  u.  { z } ) )
1210, 11mpbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P A  C_ 
~P ( A  u.  { z } )
1312sseli 3336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  e.  ~P ( A  u.  { z } ) )
1413adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  x  e.  ~P ( A  u.  { z } ) )
15 hashbc.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
16 elpwi 3799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
1716ssneld 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P A  -> 
( -.  z  e.  A  ->  -.  z  e.  x ) )
1815, 17mpan9 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  -.  z  e.  x )
1914, 18jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )
)
20 elpwi 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  x  C_  ( A  u.  { z } ) )
21 uncom 3483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  A
)
2220, 21syl6sseq 3386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  x  C_  ( { z }  u.  A ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  C_  ( {
z }  u.  A
) )
24 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  -.  z  e.  x
)
25 disjsn 3860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  x )
2624, 25sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  ( x  i^i  {
z } )  =  (/) )
27 disjssun 3677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  ->  ( x  C_  ( { z }  u.  A )  <->  x  C_  A
) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  ( x  C_  ( { z }  u.  A )  <->  x  C_  A
) )
2923, 28mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  C_  A )
30 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
3130elpw 3797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
3229, 31sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  e.  ~P A
)
3332adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x
) )  ->  x  e.  ~P A )
3419, 33impbida 806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ~P A 
<->  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )
) )
3534anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( (
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
36 anass 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K )  <-> 
( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
3735, 36syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) ) )
3837abbidv 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  ~P A  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  =  { x  |  ( x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) } )
39 df-rab 2706 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  K }  =  {
x  |  ( x  e.  ~P A  /\  ( # `  x )  =  K ) }
40 df-rab 2706 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  =  {
x  |  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) }
4138, 39, 403eqtr4g 2492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }  =  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )
4241fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
)  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
439, 42eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  K )  =  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
44 peano2zm 10310 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
451, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
46 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( # `  A )  _C  j )  =  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) ) )
47 eqeq2 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( # `  x )  =  j  <->  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) ) )
4847rabbidv 2940 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  j }  =  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )
4948fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  ( # `
 { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  j } )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) )
5046, 49eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  <->  ( ( # `  A )  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) ) )
5150rspcv 3040 . . . . 5  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  ->  ( ( # `
 A )  _C  ( K  -  1 ) )  =  (
# `  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) ) )
5245, 2, 51sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) )
53 hashbc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
54 pwfi 7394 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
5553, 54sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P A  e.  Fin )
56 rabexg 4345 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  _V )
5755, 56syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  _V )
58 snfi 7179 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
59 unfi 7366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
6053, 58, 59sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
61 pwfi 7394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  { z } )  e.  Fin  <->  ~P ( A  u.  { z } )  e.  Fin )
6260, 61sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
63 ssrab2 3420 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } )
64 ssfi 7321 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } ) )  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )
6562, 63, 64sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )
66 elex 2956 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  _V )
6765, 66syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  _V )
68 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  u
) )
6968eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( # `  x )  =  ( K  - 
1 )  <->  ( # `  u
)  =  ( K  -  1 ) ) )
7069elrab 3084 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  <->  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )
71 elpwi 3799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~P A  ->  u  C_  A )
7271ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  u  C_  A )
73 unss1 3508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  A  ->  (
u  u.  { z } )  C_  ( A  u.  { z } ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  C_  ( A  u.  { z } ) )
75 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
76 snex 4397 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  _V
7775, 76unex 4699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  u.  { z } )  e.  _V
7877elpw 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  ~P ( A  u.  { z } )  <->  ( u  u.  { z } ) 
C_  ( A  u.  { z } ) )
7974, 78sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
~P ( A  u.  { z } ) )
8053adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  A  e.  Fin )
81 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  u  C_  A )  ->  u  e.  Fin )
8280, 72, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  u  e.  Fin )
8358a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  { z }  e.  Fin )
8415adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  z  e.  A
)
8572, 84ssneldd 3343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  z  e.  u
)
86 disjsn 3860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  u )
8785, 86sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  i^i  {
z } )  =  (/) )
88 hashun 11646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( u  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( u  u.  {
z } ) )  =  ( ( # `  u )  +  (
# `  { z } ) ) )
8982, 83, 87, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  u
)  +  ( # `  { z } ) ) )
90 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  u )  =  ( K  - 
1 ) )
91 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
92 hashsng 11637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  ( # `
 { z } )  =  1 )
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  { z } )  =  1
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  { z } )  =  1 )
9590, 94oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  u
)  +  ( # `  { z } ) )  =  ( ( K  -  1 )  +  1 ) )
961adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
9796zcnd 10366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
98 ax-1cn 9038 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
99 npcan 9304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
10097, 98, 99sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
10189, 95, 1003eqtrd 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K )
102 ssun2 3503 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( u  u.  { z } )
10391snss 3918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  <->  { z }  C_  ( u  u.  { z } ) )
104102, 103mpbir 201 . . . . . . . . . 10  |-  z  e.  ( u  u.  {
z } )
105101, 104jctil 524 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( z  e.  ( u  u.  { z } )  /\  ( # `
 ( u  u. 
{ z } ) )  =  K ) )
106 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  ( u  u.  { z } ) ) )
107 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( u  u.  {
z } ) ) )
108107eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  x )  =  K  <-> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K ) )
109106, 108anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( z  e.  ( u  u.  {
z } )  /\  ( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K ) ) )
110109elrab 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  <-> 
( ( u  u. 
{ z } )  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  /\  ( # `  (
u  u.  { z } ) )  =  K ) ) )
11179, 105, 110sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
{ x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )
112111ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  ->  (
u  u.  { z } )  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
11370, 112syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  ->  ( u  u. 
{ z } )  e.  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
114 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  v ) )
115 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  v
) )
116115eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
( # `  x )  =  K  <->  ( # `  v
)  =  K ) )
117114, 116anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  v  ->  (
( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K )  <-> 
( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )
118117elrab 3084 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  <->  ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )
119 elpwi 3799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  v  C_  ( A  u.  { z } ) )
120119ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  v  C_  ( A  u.  {
z } ) )
121120, 21syl6sseq 3386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  v  C_  ( { z }  u.  A ) )
122 ssundif 3703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  ( { z }  u.  A )  <-> 
( v  \  {
z } )  C_  A )
123121, 122sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  C_  A
)
124 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  v  e. 
_V
125 difexg 4343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  \  { z } )  e.  _V )
126124, 125ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
\  { z } )  e.  _V
127126elpw 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  ~P A 
<->  ( v  \  {
z } )  C_  A )
128123, 127sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  ~P A )
12953adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  A  e.  Fin )
130 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( v  \  {
z } )  C_  A )  ->  (
v  \  { z } )  e.  Fin )
131129, 123, 130syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  Fin )
132 hashcl 11629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
v  \  { z } ) )  e. 
NN0 )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  e.  NN0 )
134133nn0cnd 10266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  e.  CC )
135 pncan 9301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
136134, 98, 135sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
137 undif1 3695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( v  u.  {
z } )
138 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  z  e.  v )
139138snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  { z }  C_  v )
140 ssequn2 3512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { z }  C_  v  <->  ( v  u.  { z } )  =  v )
141139, 140sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  u.  { z } )  =  v )
142137, 141syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( v  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  v )
143142fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( # `  v
) )
14458a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  { z }  e.  Fin )
145 incom 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  ( { z }  i^i  ( v  \  { z } ) )
146 disjdif 3692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { z }  i^i  (
v  \  { z } ) )  =  (/)
147145, 146eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/)
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( v  \  {
z } )  i^i 
{ z } )  =  (/) )
149 hashun 11646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  \  {
z } )  e. 
Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  (
( v  \  {
z } )  i^i 
{ z } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  ( # `  {
z } ) ) )
150131, 144, 148, 149syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  ( # `  {
z } ) ) )
15193oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( v  \  { z } ) )  +  ( # `  { z } ) )  =  ( (
# `  ( v  \  { z } ) )  +  1 )
152150, 151syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 ) )
153 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 v )  =  K )
154143, 152, 1533eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( # `  ( v 
\  { z } ) )  +  1 )  =  K )
155154oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( K  -  1 ) )
156136, 155eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) )
157 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( v  \  { z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
158157eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( v  \  { z } )  ->  ( ( # `  x )  =  ( K  -  1 )  <-> 
( # `  ( v 
\  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) ) )
159158elrab 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  <-> 
( ( v  \  { z } )  e.  ~P A  /\  ( # `  ( v 
\  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) ) )
160128, 156, 159sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )
161160ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) )  ->  ( v  \  { z } )  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) )
162118, 161syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  ->  ( v  \  { z } )  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) )
16370, 118anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  /\  v  e.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  <->  ( (
u  e.  ~P A  /\  ( # `  u
)  =  ( K  -  1 ) )  /\  ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) ) )
164 simp3rl 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  z  e.  v )
165164snssd 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  { z }  C_  v )
166 incom 3525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z }  i^i  u
)  =  ( u  i^i  { z } )
167873adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  i^i  { z } )  =  (/) )
168166, 167syl5eq 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( {
z }  i^i  u
)  =  (/) )
169 uneqdifeq 3708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  C_  v  /\  ( { z }  i^i  u )  =  (/) )  ->  (
( { z }  u.  u )  =  v  <->  ( v  \  { z } )  =  u ) )
170165, 168, 169syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( ( { z }  u.  u )  =  v  <-> 
( v  \  {
z } )  =  u ) )
171170bicomd 193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( (
v  \  { z } )  =  u  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v ) )
172 eqcom 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
( v  \  {
z } )  =  u )
173 eqcom 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( u  u. 
{ z } )  <-> 
( u  u.  {
z } )  =  v )
174 uncom 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  u
)
175174eqeq1i 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  { z } )  =  v  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v )
176173, 175bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( u  u. 
{ z } )  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v )
177171, 172, 1763bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) )
1781773expib 1156 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( u  e.  ~P A  /\  ( # `  u )  =  ( K  - 
1 ) )  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) ) )
179163, 178syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  /\  v  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) ) )
18057, 67, 113, 162, 179en3d 7136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )
181 ssrab2 3420 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  C_  ~P A
182 ssfi 7321 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
C_  ~P A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin )
18355, 181, 182sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin )
184 hashen 11621 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin  /\  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  <->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
185183, 65, 184syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  <->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
186180, 185mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
18752, 186eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
18843, 187oveq12d 6091 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
18958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z }  e.  Fin )
190 disjsn 3860 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
19115, 190sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
192 hashun 11646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  {
z } ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  { z } ) ) )
19353, 189, 191, 192syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  { z } ) ) )
19493oveq2i 6084 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  +  ( # `  {
z } ) )  =  ( ( # `  A )  +  1 )
195193, 194syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
196195oveq1d 6088 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  ( ( ( # `  A
)  +  1 )  _C  K ) )
197 hashcl 11629 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
19853, 197syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
199 bcpasc 11602 . . . 4  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( ( # `  A )  +  1 )  _C  K ) )
200198, 1, 199syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( ( # `  A )  +  1 )  _C  K ) )
201196, 200eqtr4d 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  ( ( ( # `  A
)  _C  K )  +  ( ( # `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) ) )
202 pm2.1 407 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )
203202biantrur 493 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K ) )
204 andir 839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) )
205203, 204bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
206205a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  ( ( # `
 x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) ) )
207206rabbiia 2938 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }  =  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
208 unrab 3604 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
209207, 208eqtr4i 2458 . . . 4  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }  =  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  u.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )
210209fveq2i 5723 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  (
# `  x )  =  K } )  =  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
211 ssrab2 3420 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } )
212 ssfi 7321 . . . . 5  |-  ( ( ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } ) )  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin )
21362, 211, 212sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin )
214 inrab 3605 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
215 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )  -> 
z  e.  x )
216 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )  ->  -.  z  e.  x
)
217215, 216pm2.65i 167 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )
218217rgenw 2765 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ~P  ( A  u.  { z } )  -.  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  /\  (
z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) )
219 rabeq0 3641 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  ~P  ( A  u.  { z } )  -.  (
( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) )
220218, 219mpbir 201 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  /\  (
z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) }  =  (/)
221214, 220eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  (/)
222221a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  i^i  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  =  (/) )
223 hashun 11646 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin  /\  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
224213, 65, 222, 223syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
225210, 224syl5eq 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  (
# `  x )  =  K } )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
226188, 201, 2253eqtr4d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ~~ cen 7098   Fincfn 7101   CCcc 8978   1c1 8981    + caddc 8983    - cmin 9281   NN0cn0 10211   ZZcz 10272    _C cbc 11583   #chash 11608
This theorem is referenced by:  hashbc  11692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-seq 11314  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609
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