MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbclem Unicode version

Theorem hashbclem 11630
Description: Lemma for hashbc 11631: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hashbc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashbc.2  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashbc.3  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } ) )
hashbc.4  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
hashbclem  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
Distinct variable groups:    x, j,
z, A    j, K, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( z, j)    K( z)

Proof of Theorem hashbclem
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashbc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
2 hashbc.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } ) )
3 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  (
( # `  A )  _C  j )  =  ( ( # `  A
)  _C  K ) )
4 eqeq2 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  K  ->  (
( # `  x )  =  j  <->  ( # `  x
)  =  K ) )
54rabbidv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  j }  =  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
)
65fveq2d 5674 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( # `
 { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  j } )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
73, 6eqeq12d 2403 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  <->  ( ( # `  A )  _C  K
)  =  ( # `  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) ) )
87rspcv 2993 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  ->  ( ( # `
 A )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  K } ) ) )
91, 2, 8sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  K )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
10 ssun1 3455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
11 sspwb 4356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  ( A  u.  { z } )  <->  ~P A  C_ 
~P ( A  u.  { z } ) )
1210, 11mpbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P A  C_ 
~P ( A  u.  { z } )
1312sseli 3289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  e.  ~P ( A  u.  { z } ) )
1413adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  x  e.  ~P ( A  u.  { z } ) )
15 hashbc.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
16 elpwi 3752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
1716ssneld 3295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P A  -> 
( -.  z  e.  A  ->  -.  z  e.  x ) )
1815, 17mpan9 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  -.  z  e.  x )
1914, 18jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )
)
20 elpwi 3752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  x  C_  ( A  u.  { z } ) )
21 uncom 3436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  A
)
2220, 21syl6sseq 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  x  C_  ( { z }  u.  A ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  C_  ( {
z }  u.  A
) )
24 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  -.  z  e.  x
)
25 disjsn 3813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  x )
2624, 25sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  ( x  i^i  {
z } )  =  (/) )
27 disjssun 3630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  ->  ( x  C_  ( { z }  u.  A )  <->  x  C_  A
) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  ( x  C_  ( { z }  u.  A )  <->  x  C_  A
) )
2923, 28mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  C_  A )
30 vex 2904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
3130elpw 3750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
3229, 31sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  ->  x  e.  ~P A
)
3332adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x
) )  ->  x  e.  ~P A )
3419, 33impbida 806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ~P A 
<->  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )
) )
3534anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( (
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
36 anass 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  -.  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K )  <-> 
( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
3735, 36syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
~P A  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) ) )
3837abbidv 2503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  |  ( x  e.  ~P A  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  =  { x  |  ( x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) } )
39 df-rab 2660 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  K }  =  {
x  |  ( x  e.  ~P A  /\  ( # `  x )  =  K ) }
40 df-rab 2660 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  =  {
x  |  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) }
4138, 39, 403eqtr4g 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }  =  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )
4241fveq2d 5674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  K }
)  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
439, 42eqtrd 2421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  K )  =  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
44 peano2zm 10254 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
451, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
46 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( # `  A )  _C  j )  =  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) ) )
47 eqeq2 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( # `  x )  =  j  <->  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) ) )
4847rabbidv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  j }  =  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )
4948fveq2d 5674 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  ( # `
 { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  j } )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) )
5046, 49eqeq12d 2403 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( K  - 
1 )  ->  (
( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  <->  ( ( # `  A )  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) ) )
5150rspcv 2993 . . . . 5  |-  ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. j  e.  ZZ  ( ( # `  A
)  _C  j )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  j } )  ->  ( ( # `
 A )  _C  ( K  -  1 ) )  =  (
# `  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) ) )
5245, 2, 51sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } ) )
53 hashbc.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
54 pwfi 7339 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
5553, 54sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P A  e.  Fin )
56 rabexg 4296 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  _V )
5755, 56syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  _V )
58 snfi 7125 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
59 unfi 7312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
6053, 58, 59sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
61 pwfi 7339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  { z } )  e.  Fin  <->  ~P ( A  u.  { z } )  e.  Fin )
6260, 61sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
63 ssrab2 3373 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } )
64 ssfi 7267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } ) )  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )
6562, 63, 64sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )
66 elex 2909 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  _V )
6765, 66syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  _V )
68 fveq2 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  u
) )
6968eqeq1d 2397 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( # `  x )  =  ( K  - 
1 )  <->  ( # `  u
)  =  ( K  -  1 ) ) )
7069elrab 3037 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  <->  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )
71 elpwi 3752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~P A  ->  u  C_  A )
7271ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  u  C_  A )
73 unss1 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  A  ->  (
u  u.  { z } )  C_  ( A  u.  { z } ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  C_  ( A  u.  { z } ) )
75 vex 2904 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
76 snex 4348 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  _V
7775, 76unex 4649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  u.  { z } )  e.  _V
7877elpw 3750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  ~P ( A  u.  { z } )  <->  ( u  u.  { z } ) 
C_  ( A  u.  { z } ) )
7974, 78sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
~P ( A  u.  { z } ) )
8053adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  A  e.  Fin )
81 ssfi 7267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  u  C_  A )  ->  u  e.  Fin )
8280, 72, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  u  e.  Fin )
8358a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  { z }  e.  Fin )
8415adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  z  e.  A
)
8572, 84ssneldd 3296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  z  e.  u
)
86 disjsn 3813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  u )
8785, 86sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  i^i  {
z } )  =  (/) )
88 hashun 11585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( u  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( u  u.  {
z } ) )  =  ( ( # `  u )  +  (
# `  { z } ) ) )
8982, 83, 87, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  u
)  +  ( # `  { z } ) ) )
90 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  u )  =  ( K  - 
1 ) )
91 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
92 hashsng 11576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  ( # `
 { z } )  =  1 )
9391, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  { z } )  =  1
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  { z } )  =  1 )
9590, 94oveq12d 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  u
)  +  ( # `  { z } ) )  =  ( ( K  -  1 )  +  1 ) )
961adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
9796zcnd 10310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  CC )
98 ax-1cn 8983 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
99 npcan 9248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
10097, 98, 99sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
10189, 95, 1003eqtrd 2425 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K )
102 ssun2 3456 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( u  u.  { z } )
10391snss 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  <->  { z }  C_  ( u  u.  { z } ) )
104102, 103mpbir 201 . . . . . . . . . 10  |-  z  e.  ( u  u.  {
z } )
105101, 104jctil 524 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( z  e.  ( u  u.  { z } )  /\  ( # `
 ( u  u. 
{ z } ) )  =  K ) )
106 eleq2 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  ( u  u.  { z } ) ) )
107 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( u  u.  {
z } ) ) )
108107eqeq1d 2397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  x )  =  K  <-> 
( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K ) )
109106, 108anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( z  e.  ( u  u.  {
z } )  /\  ( # `  ( u  u.  { z } ) )  =  K ) ) )
110109elrab 3037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  <-> 
( ( u  u. 
{ z } )  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  /\  ( # `  (
u  u.  { z } ) )  =  K ) ) )
11179, 105, 110sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
{ x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )
112111ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  ->  (
u  u.  { z } )  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
11370, 112syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  ->  ( u  u. 
{ z } )  e.  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
114 eleq2 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  v ) )
115 fveq2 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  v
) )
116115eqeq1d 2397 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
( # `  x )  =  K  <->  ( # `  v
)  =  K ) )
117114, 116anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  v  ->  (
( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K )  <-> 
( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )
118117elrab 3037 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  <->  ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )
119 elpwi 3752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  v  C_  ( A  u.  { z } ) )
120119ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  v  C_  ( A  u.  {
z } ) )
121120, 21syl6sseq 3339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  v  C_  ( { z }  u.  A ) )
122 ssundif 3656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  ( { z }  u.  A )  <-> 
( v  \  {
z } )  C_  A )
123121, 122sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  C_  A
)
124 vex 2904 . . . . . . . . . . . 12  |-  v  e. 
_V
125 difexg 4294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  \  { z } )  e.  _V )
126124, 125ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
\  { z } )  e.  _V
127126elpw 3750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  ~P A 
<->  ( v  \  {
z } )  C_  A )
128123, 127sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  ~P A )
12953adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  A  e.  Fin )
130 ssfi 7267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( v  \  {
z } )  C_  A )  ->  (
v  \  { z } )  e.  Fin )
131129, 123, 130syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  Fin )
132 hashcl 11568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
v  \  { z } ) )  e. 
NN0 )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  e.  NN0 )
134133nn0cnd 10210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  e.  CC )
135 pncan 9245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
136134, 98, 135sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
137 undif1 3648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( v  u.  {
z } )
138 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  z  e.  v )
139138snssd 3888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  { z }  C_  v )
140 ssequn2 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { z }  C_  v  <->  ( v  u.  { z } )  =  v )
141139, 140sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  u.  { z } )  =  v )
142137, 141syl5eq 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( v  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  v )
143142fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( # `  v
) )
14458a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  { z }  e.  Fin )
145 incom 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  ( { z }  i^i  ( v  \  { z } ) )
146 disjdif 3645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { z }  i^i  (
v  \  { z } ) )  =  (/)
147145, 146eqtri 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  \  { z } )  i^i  {
z } )  =  (/)
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( v  \  {
z } )  i^i 
{ z } )  =  (/) )
149 hashun 11585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  \  {
z } )  e. 
Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  (
( v  \  {
z } )  i^i 
{ z } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  ( # `  {
z } ) ) )
150131, 144, 148, 149syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  ( # `  {
z } ) ) )
15193oveq2i 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( v  \  { z } ) )  +  ( # `  { z } ) )  =  ( (
# `  ( v  \  { z } ) )  +  1 )
152150, 151syl6eq 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( ( v 
\  { z } )  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 ) )
153 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 v )  =  K )
154143, 152, 1533eqtr3d 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( # `  ( v 
\  { z } ) )  +  1 )  =  K )
155154oveq1d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
( ( # `  (
v  \  { z } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( K  -  1 ) )
156136, 155eqtr3d 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  ( # `
 ( v  \  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) )
157 fveq2 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( v  \  { z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( v  \  {
z } ) ) )
158157eqeq1d 2397 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( v  \  { z } )  ->  ( ( # `  x )  =  ( K  -  1 )  <-> 
( # `  ( v 
\  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) ) )
159158elrab 3037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  \  { z } )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  <-> 
( ( v  \  { z } )  e.  ~P A  /\  ( # `  ( v 
\  { z } ) )  =  ( K  -  1 ) ) )
160128, 156, 159sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) )  ->  (
v  \  { z } )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )
161160ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) )  ->  ( v  \  { z } )  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) )
162118, 161syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  ->  ( v  \  { z } )  e.  { x  e. 
~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) } ) )
16370, 118anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  /\  v  e.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  <->  ( (
u  e.  ~P A  /\  ( # `  u
)  =  ( K  -  1 ) )  /\  ( v  e. 
~P ( A  u.  { z } )  /\  ( z  e.  v  /\  ( # `  v
)  =  K ) ) ) )
164 simp3rl 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  z  e.  v )
165164snssd 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  { z }  C_  v )
166 incom 3478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z }  i^i  u
)  =  ( u  i^i  { z } )
167873adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  i^i  { z } )  =  (/) )
168166, 167syl5eq 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( {
z }  i^i  u
)  =  (/) )
169 uneqdifeq 3661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { z }  C_  v  /\  ( { z }  i^i  u )  =  (/) )  ->  (
( { z }  u.  u )  =  v  <->  ( v  \  { z } )  =  u ) )
170165, 168, 169syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( ( { z }  u.  u )  =  v  <-> 
( v  \  {
z } )  =  u ) )
171170bicomd 193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( (
v  \  { z } )  =  u  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v ) )
172 eqcom 2391 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
( v  \  {
z } )  =  u )
173 eqcom 2391 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( u  u. 
{ z } )  <-> 
( u  u.  {
z } )  =  v )
174 uncom 3436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  u
)
175174eqeq1i 2396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  u.  { z } )  =  v  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v )
176173, 175bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( u  u. 
{ z } )  <-> 
( { z }  u.  u )  =  v )
177171, 172, 1763bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P A  /\  ( # `
 u )  =  ( K  -  1 ) )  /\  (
v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) )
1781773expib 1156 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( u  e.  ~P A  /\  ( # `  u )  =  ( K  - 
1 ) )  /\  ( v  e.  ~P ( A  u.  { z } )  /\  (
z  e.  v  /\  ( # `  v )  =  K ) ) )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) ) )
179163, 178syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  /\  v  e.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  ->  ( u  =  ( v  \  { z } )  <-> 
v  =  ( u  u.  { z } ) ) ) )
18057, 67, 113, 162, 179en3d 7082 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )
181 ssrab2 3373 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ~P A  |  (
# `  x )  =  ( K  - 
1 ) }  C_  ~P A
182 ssfi 7267 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
C_  ~P A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin )
18355, 181, 182sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin )
184 hashen 11560 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) }  e.  Fin  /\  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  <->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
185183, 65, 184syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  <->  { x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } 
~~  { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
186180, 185mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P A  |  ( # `  x
)  =  ( K  -  1 ) } )  =  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
18752, 186eqtrd 2421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  _C  ( K  -  1 ) )  =  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } ) )
18843, 187oveq12d 6040 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
18958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z }  e.  Fin )
190 disjsn 3813 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
19115, 190sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
192 hashun 11585 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  {
z } ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  { z } ) ) )
19353, 189, 191, 192syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  { z } ) ) )
19493oveq2i 6033 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  +  ( # `  {
z } ) )  =  ( ( # `  A )  +  1 )
195193, 194syl6eq 2437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
196195oveq1d 6037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  ( ( ( # `  A
)  +  1 )  _C  K ) )
197 hashcl 11568 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
19853, 197syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
199 bcpasc 11541 . . . 4  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( ( # `  A )  +  1 )  _C  K ) )
200198, 1, 199syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  _C  K
)  +  ( (
# `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) )  =  ( ( ( # `  A )  +  1 )  _C  K ) )
201196, 200eqtr4d 2424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  ( ( ( # `  A
)  _C  K )  +  ( ( # `  A )  _C  ( K  -  1 ) ) ) )
202 pm2.1 407 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )
203202biantrur 493 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )  /\  ( # `  x
)  =  K ) )
204 andir 839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  \/  z  e.  x )  /\  ( # `
 x )  =  K )  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) )
205203, 204bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) )
206205a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  ->  ( ( # `
 x )  =  K  <->  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) ) ) )
207206rabbiia 2891 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }  =  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
208 unrab 3557 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  \/  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
209207, 208eqtr4i 2412 . . . 4  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }  =  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  u.  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )
210209fveq2i 5673 . . 3  |-  ( # `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  (
# `  x )  =  K } )  =  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )
211 ssrab2 3373 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } )
212 ssfi 7267 . . . . 5  |-  ( ( ~P ( A  u.  { z } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  C_  ~P ( A  u.  { z } ) )  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin )
21362, 211, 212sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin )
214 inrab 3558 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }
215 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )  -> 
z  e.  x )
216 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )  ->  -.  z  e.  x
)
217215, 216pm2.65i 167 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) )
218217rgenw 2718 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ~P  ( A  u.  { z } )  -.  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  /\  (
z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) )
219 rabeq0 3594 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  ~P  ( A  u.  { z } )  -.  (
( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K )  /\  ( z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K ) ) )
220218, 219mpbir 201 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( ( -.  z  e.  x  /\  ( # `
 x )  =  K )  /\  (
z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) ) }  =  (/)
221214, 220eqtri 2409 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  (/)
222221a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { x  e. 
~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  i^i  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) } )  =  (/) )
223 hashun 11585 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  e.  Fin  /\  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x )  =  K ) }  e.  Fin  /\  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  i^i  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
224213, 65, 222, 223syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) }  u.  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
225210, 224syl5eq 2433 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  (
# `  x )  =  K } )  =  ( ( # `  {
x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( -.  z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } )  +  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( z  e.  x  /\  ( # `  x
)  =  K ) } ) ) )
226188, 201, 2253eqtr4d 2431 1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  u.  { z } ) )  _C  K )  =  (
# `  { x  e.  ~P ( A  u.  { z } )  |  ( # `  x
)  =  K }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2375   A.wral 2651   {crab 2655   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   {csn 3759   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    ~~ cen 7044   Fincfn 7047   CCcc 8923   1c1 8926    + caddc 8928    - cmin 9225   NN0cn0 10155   ZZcz 10216    _C cbc 11522   #chash 11547
This theorem is referenced by:  hashbc  11631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-seq 11253  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548
  Copyright terms: Public domain W3C validator