MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbnd Structured version   Unicode version

Theorem hashbnd 11626
Description: If  A has size bounded by an integer  B, then  A is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashbnd  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_  B )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem hashbnd
StepHypRef Expression
1 nn0re 10232 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  RR )
2 ltpnf 10723 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  +oo )
3 rexr 9132 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
4 pnfxr 10715 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
5 xrltnle 9146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( B  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  B
) )
63, 4, 5sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  B
) )
72, 6mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  -.  +oo 
<_  B )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  -.  +oo  <_  B )
9 hashinf 11625 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
109breq1d 4224 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  <_  B  <->  +oo 
<_  B ) )
1110notbid 287 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  ( # `
 A )  <_  B 
<->  -.  +oo  <_  B ) )
128, 11syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( # `  A
)  <_  B )
)
1312expdimp 428 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  A  e.  V )  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  -.  ( # `  A
)  <_  B )
)
1413ancoms 441 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  -.  ( # `  A
)  <_  B )
)
1514con4d 100 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  A
)  <_  B  ->  A  e.  Fin ) )
16153impia 1151 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_  B )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   Fincfn 7111   RRcr 8991    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   NN0cn0 10223   #chash 11620
This theorem is referenced by:  fta1glem2  20091  fta1blem  20093  lgsqrlem4  21130  fiusgraedgfi  21423  idomsubgmo  27493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-hash 11621
  Copyright terms: Public domain W3C validator