MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Unicode version

Theorem hashcl 11350
Description: Closure of the  # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgval 11340 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
3 ficardom 7594 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
41hashgf1o 11033 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1of 5472 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0 )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0
76ffvelrni 5664 . . 3  |-  ( (
card `  A )  e.  om  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  e.  NN0 )
83, 7syl 15 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  e.  NN0 )
92, 8eqeltrrd 2358 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   omcom 4656    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422   Fincfn 6863   cardccrd 7568   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NN0cn0 9965   #chash 11337
This theorem is referenced by:  hashclb  11352  hashnncl  11354  hashdom  11361  hashsdom  11363  hashun2  11365  hashun3  11366  hashssdif  11374  hashunlei  11377  hashsslei  11378  hashxplem  11385  hashmap  11387  hashfun  11389  hashbclem  11390  hashf1lem2  11394  hashf1  11395  hashfac  11396  fz1isolem  11399  seqcoll2  11402  lencl  11421  ccatcl  11429  ccatval1  11431  ccatval2  11432  splfv1  11470  splfv2a  11471  isercoll  12141  fz1f1o  12183  o1fsum  12271  hashiun  12280  ackbijnn  12286  incexclem  12295  incexc  12296  incexc2  12297  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  phicl2  12836  phiprmpw  12844  sumhash  12944  prmreclem3  12965  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  4sqlem11  13002  vdwlem11  13038  vdwlem12  13039  vdwlem13  13040  ramlb  13066  0ram  13067  ramub1lem1  13073  ramub1lem2  13074  lagsubg2  14678  lagsubg  14679  odhash3  14887  gexdvds3  14901  sylow1lem1  14909  sylow1lem5  14913  pgpfi  14916  pgpssslw  14925  sylow2alem2  14929  sylow2a  14930  sylow2blem3  14933  sylow3lem3  14940  sylow3lem4  14941  sylow3lem6  14943  cyggex2  15183  ablfacrplem  15300  ablfacrp2  15302  ablfac1c  15306  ablfac1eulem  15307  ablfac1eu  15308  pgpfac1lem2  15310  pgpfaclem2  15317  ablfaclem3  15322  cygznlem1  16520  cygznlem2a  16521  cygznlem3  16523  cygth  16525  tsmsxp  17837  fta1glem2  19552  fta1blem  19554  fta1lem  19687  vieta1lem2  19691  birthday  20249  ppif  20368  isnsqf  20373  muf  20378  0sgm  20382  mule1  20386  ppidif  20401  mumul  20419  musum  20431  ppiub  20443  chpub  20459  dchrabs  20499  sumdchr2  20509  dchrhash  20510  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  rpvmasum2  20661  dchrisum0re  20662  pntlemr  20751  pntlemj  20752  ballotlemfelz  23049  ballotlemfp1  23050  ballotlemgun  23083  ballotth  23096  esumcst  23436  hasheuni  23453  coinfliplem  23679  coinflippv  23684  derangf  23699  derangen2  23705  subfacp1lem1  23710  erdszelem8  23729  erdsze2lem1  23734  vdgrf  23891  vdgrun  23893  konigsberg  23911  snmlff  23912  rrnequiv  26559  rrntotbnd  26560  eldioph2lem1  26839  isnumbasgrplem3  27270  psgnunilem4  27420  stoweidlem26  27775  stoweidlem44  27793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator