MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Structured version   Unicode version

Theorem hashcl 11629
Description: Closure of the  # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgval 11611 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
3 ficardom 7838 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
41hashgf1o 11300 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1of 5666 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0 )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0
76ffvelrni 5861 . . 3  |-  ( (
card `  A )  e.  om  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  e.  NN0 )
83, 7syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  e.  NN0 )
92, 8eqeltrrd 2510 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    e. cmpt 4258   omcom 4837    |` cres 4872   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   reccrdg 6659   Fincfn 7101   cardccrd 7812   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983   NN0cn0 10211   #chash 11608
This theorem is referenced by:  hashclb  11631  hashnncl  11635  hashdom  11643  hashsdom  11645  hashun2  11647  hashun3  11648  hashunx  11650  hashssdif  11667  hashunlei  11674  hashsslei  11675  hashtpg  11681  hashxplem  11686  hashmap  11688  hashfun  11690  hashbclem  11691  hashf1lem2  11695  hashf1  11696  hashfac  11697  fz1isolem  11700  seqcoll2  11703  brfi1uzind  11705  lencl  11725  ccatcl  11733  ccatval1  11735  ccatval2  11736  splfv1  11774  splfv2a  11775  isercoll  12451  fz1f1o  12494  o1fsum  12582  hashiun  12591  ackbijnn  12597  incexclem  12606  incexc  12607  incexc2  12608  climcndslem1  12619  climcndslem2  12620  phicl2  13147  phiprmpw  13155  sumhash  13255  prmreclem3  13276  prmreclem4  13277  prmreclem5  13278  4sqlem11  13313  vdwlem11  13349  vdwlem12  13350  vdwlem13  13351  ramlb  13377  0ram  13378  ramub1lem1  13384  ramub1lem2  13385  lagsubg2  14991  lagsubg  14992  odhash3  15200  gexdvds3  15214  sylow1lem1  15222  sylow1lem5  15226  pgpfi  15229  pgpssslw  15238  sylow2alem2  15242  sylow2a  15243  sylow2blem3  15246  sylow3lem3  15253  sylow3lem4  15254  sylow3lem6  15256  cyggex2  15496  ablfacrplem  15613  ablfacrp2  15615  ablfac1c  15619  ablfac1eulem  15620  ablfac1eu  15621  pgpfac1lem2  15623  pgpfaclem2  15630  ablfaclem3  15635  cygznlem1  16837  cygznlem2a  16838  cygznlem3  16840  cygth  16842  tsmsxp  18174  fta1glem2  20079  fta1blem  20081  fta1lem  20214  vieta1lem2  20218  birthday  20783  ppif  20903  isnsqf  20908  muf  20913  0sgm  20917  mule1  20921  ppidif  20936  mumul  20954  musum  20966  ppiub  20978  chpub  20994  dchrabs  21034  sumdchr2  21044  dchrhash  21045  lgsquadlem1  21128  lgsquadlem2  21129  lgsquadlem3  21130  rpvmasum2  21196  dchrisum0re  21197  pntlemr  21286  pntlemj  21287  fiusgraedgfi  21411  cusgrasizeinds  21475  spthispth  21563  vdgrfival  21658  vdgrfif  21660  vdgrfiun  21663  konigsberg  21699  esumcst  24445  hasheuni  24465  coinfliplem  24726  coinflippv  24731  ballotlemfelz  24738  ballotlemfp1  24739  ballotlemgun  24772  ballotth  24785  derangf  24844  derangen2  24850  subfacp1lem1  24855  erdszelem8  24874  erdsze2lem1  24879  snmlff  25006  rrnequiv  26498  rrntotbnd  26499  eldioph2lem1  26772  isnumbasgrplem3  27202  psgnunilem4  27352  stoweidlem26  27706  frghash2spot  28353  usgreghash2spotv  28356  frgregordn0  28360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-hash 11609
  Copyright terms: Public domain W3C validator