MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Unicode version

Theorem hashcl 11559
Description: Closure of the  # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgval 11541 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
3 ficardom 7774 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
41hashgf1o 11230 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1of 5607 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0 )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om --> NN0
76ffvelrni 5801 . . 3  |-  ( (
card `  A )  e.  om  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  e.  NN0 )
83, 7syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  e.  NN0 )
92, 8eqeltrrd 2455 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    e. cmpt 4200   omcom 4778    |` cres 4813   -->wf 5383   -1-1-onto->wf1o 5386   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   reccrdg 6596   Fincfn 7038   cardccrd 7748   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919   NN0cn0 10146   #chash 11538
This theorem is referenced by:  hashclb  11561  hashnncl  11565  hashdom  11573  hashsdom  11575  hashun2  11577  hashun3  11578  hashunx  11580  hashssdif  11597  hashunlei  11604  hashsslei  11605  hashtpg  11611  hashxplem  11616  hashmap  11618  hashfun  11620  hashbclem  11621  hashf1lem2  11625  hashf1  11626  hashfac  11627  fz1isolem  11630  seqcoll2  11633  brfi1uzind  11635  lencl  11655  ccatcl  11663  ccatval1  11665  ccatval2  11666  splfv1  11704  splfv2a  11705  isercoll  12381  fz1f1o  12424  o1fsum  12512  hashiun  12521  ackbijnn  12527  incexclem  12536  incexc  12537  incexc2  12538  climcndslem1  12549  climcndslem2  12550  phicl2  13077  phiprmpw  13085  sumhash  13185  prmreclem3  13206  prmreclem4  13207  prmreclem5  13208  4sqlem11  13243  vdwlem11  13279  vdwlem12  13280  vdwlem13  13281  ramlb  13307  0ram  13308  ramub1lem1  13314  ramub1lem2  13315  lagsubg2  14921  lagsubg  14922  odhash3  15130  gexdvds3  15144  sylow1lem1  15152  sylow1lem5  15156  pgpfi  15159  pgpssslw  15168  sylow2alem2  15172  sylow2a  15173  sylow2blem3  15176  sylow3lem3  15183  sylow3lem4  15184  sylow3lem6  15186  cyggex2  15426  ablfacrplem  15543  ablfacrp2  15545  ablfac1c  15549  ablfac1eulem  15550  ablfac1eu  15551  pgpfac1lem2  15553  pgpfaclem2  15560  ablfaclem3  15565  cygznlem1  16763  cygznlem2a  16764  cygznlem3  16766  cygth  16768  tsmsxp  18098  fta1glem2  19949  fta1blem  19951  fta1lem  20084  vieta1lem2  20088  birthday  20653  ppif  20773  isnsqf  20778  muf  20783  0sgm  20787  mule1  20791  ppidif  20806  mumul  20824  musum  20836  ppiub  20848  chpub  20864  dchrabs  20904  sumdchr2  20914  dchrhash  20915  lgsquadlem1  20998  lgsquadlem2  20999  lgsquadlem3  21000  rpvmasum2  21066  dchrisum0re  21067  pntlemr  21156  pntlemj  21157  fiusgraedgfi  21280  cusgrasizeinds  21344  spthispth  21420  vdgrfival  21509  vdgrfif  21511  vdgrfiun  21514  konigsberg  21550  esumcst  24244  hasheuni  24264  coinfliplem  24508  coinflippv  24513  ballotlemfelz  24520  ballotlemfp1  24521  ballotlemgun  24554  ballotth  24567  derangf  24626  derangen2  24632  subfacp1lem1  24637  erdszelem8  24656  erdsze2lem1  24661  snmlff  24788  rrnequiv  26228  rrntotbnd  26229  eldioph2lem1  26502  isnumbasgrplem3  26932  psgnunilem4  27082  stoweidlem26  27436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-hash 11539
  Copyright terms: Public domain W3C validator