MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashclb Structured version   Unicode version

Theorem hashclb 11641
Description: Reverse closure of the  # function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashclb  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
)

Proof of Theorem hashclb
StepHypRef Expression
1 hashcl 11639 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
2 nn0re 10230 . . 3  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
3 pnfnre 9127 . . . . . . 7  |-  +oo  e/  RR
43neli 2697 . . . . . 6  |-  -.  +oo  e.  RR
5 hashinf 11623 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
65eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  e.  RR  <->  +oo 
e.  RR ) )
74, 6mtbiri 295 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( # `  A
)  e.  RR )
87ex 424 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( # `  A
)  e.  RR ) )
98con4d 99 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  e.  RR  ->  A  e.  Fin ) )
102, 9syl5 30 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  e.  NN0  ->  A  e. 
Fin ) )
111, 10impbid2 196 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   ` cfv 5454   Fincfn 7109   RRcr 8989    +oocpnf 9117   NN0cn0 10221   #chash 11618
This theorem is referenced by:  hashvnfin  11642  hashnfinnn0  11643  brfi1indlem  11714  ramub1  13396  pgpfi1  15229  iscygodd  15498  prmcyg  15503  lt6abl  15504  ablfacrplem  15623  ablfacrp  15624  ablfacrp2  15625  znfi  16840  dchrfi  21039  dchrsum2  21052  cusgrasize2inds  21486  esumcst  24455  frlmpwfi  27239  idomsubgmo  27491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-hash 11619
  Copyright terms: Public domain W3C validator