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Theorem hashdom 11361
Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdom  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)

Proof of Theorem hashdom
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11034 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) )  e.  Fin
2 ficardom 7594 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )  e. 
Fin  ->  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) )  e.  om )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) )  e.  om
4 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
54hashgval 11340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
65ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
74hashgval 11340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )  e. 
Fin  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) )  =  ( # `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) )
81, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) )
9 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
109ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
11 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1211ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
13 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )
14 nn0sub2 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  A ) )  e.  NN0 )
1510, 12, 13, 14syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( # `  B )  -  ( # `  A
) )  e.  NN0 )
16 hashfz1 11345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )  =  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )
188, 17syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
196, 18oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  +  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) ) )
209nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e.  CC )
2111nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e.  CC )
22 pncan3 9059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  CC  /\  ( # `  B )  e.  CC )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )  =  ( # `  B
) )
2320, 21, 22syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )  =  ( # `  B
) )
2423adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( # `  A )  +  ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) )  =  ( # `  B ) )
2519, 24eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  +  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) ) )  =  ( # `  B
) )
26 ficardom 7594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( card `  A )  e. 
om )
284hashgadd 11359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )  e.  om )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  +  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) ) ) )
2927, 3, 28sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  (
( card `  A )  +o  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  +  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) ) ) )
304hashgval 11340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  =  ( # `  B
) )
3130ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  =  ( # `  B
) )
3225, 29, 313eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  (
( card `  A )  +o  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) ) )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) ) )
3332fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) ) ) )
344hashgf1o 11033 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
35 nnacl 6609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )  e.  om )  ->  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) )  e.  om )
3627, 3, 35sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( card `  A )  +o  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) )  e. 
om )
37 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) )  e.  om )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) )
3834, 36, 37sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) )
39 ficardom 7594 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( card `  B )  e. 
om )
4039ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( card `  B )  e. 
om )
41 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( card `  B
)  e.  om )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) ) )  =  ( card `  B
) )
4234, 40, 41sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) ) )  =  ( card `  B
) )
4333, 38, 423eqtr3d 2323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  (
( card `  A )  +o  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) ) )  =  ( card `  B
) )
44 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( card `  A )  +o  y )  =  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) ) )
4544eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( ( card `  A
)  +o  y )  =  ( card `  B
)  <->  ( ( card `  A )  +o  ( card `  ( 1 ... ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )  =  (
card `  B )
) )
4645rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( card `  (
1 ... ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) ) ) )  e.  om  /\  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  ( 1 ... (
( # `  B )  -  ( # `  A
) ) ) ) )  =  ( card `  B ) )  ->  E. y  e.  om  ( ( card `  A
)  +o  y )  =  ( card `  B
) )
473, 43, 46sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )  ->  E. y  e.  om  ( ( card `  A )  +o  y
)  =  ( card `  B ) )
4847ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  ->  E. y  e.  om  ( ( card `  A )  +o  y
)  =  ( card `  B ) ) )
49 cardnn 7596 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( card `  y )  =  y )
5049adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( card `  y
)  =  y )
5150oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( card `  A )  +o  ( card `  y ) )  =  ( ( card `  A )  +o  y
) )
5251eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( (
card `  A )  +o  ( card `  y
) )  =  (
card `  B )  <->  ( ( card `  A
)  +o  y )  =  ( card `  B
) ) )
53 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  A
)  +o  ( card `  y ) )  =  ( card `  B
)  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  y ) ) )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) ) )
54 nnfi 7053 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  Fin )
55 ficardom 7594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( card `  y )  e. 
om )
564hashgadd 11359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  ( card `  y )  e.  om )  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  (
( card `  A )  +o  ( card `  y
) ) )  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  +  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) ) ) )
5726, 55, 56syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  y ) ) )  =  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  +  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y
) ) ) )
584hashgval 11340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( # `  y
) )
595, 58oveqan12d 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  +  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) ) )  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  y
) ) )
6057, 59eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  y ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  y )
) )
6160adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( card `  A
)  +o  ( card `  y ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  y )
) )
6230ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) )  =  (
# `  B )
)
6361, 62eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( (
card `  A )  +o  ( card `  y
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) )  <->  ( ( # `
 A )  +  ( # `  y
) )  =  (
# `  B )
) )
64 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
6564nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  0  <_  ( # `  y
) )
6665adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  0  <_  ( # `  y
) )
679nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e.  RR )
6864nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e.  RR )
69 addge01 9284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  y )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( # `
 y )  <->  ( # `  A
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  y
) ) ) )
7067, 68, 69syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( 0  <_  ( # `
 y )  <->  ( # `  A
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  y
) ) ) )
7166, 70mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  y
) ) )
7271adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  y
) ) )
73 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  A
)  +  ( # `  y ) )  =  ( # `  B
)  ->  ( ( # `
 A )  <_ 
( ( # `  A
)  +  ( # `  y ) )  <->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) )
7472, 73syl5ibcom 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( (
# `  A )  +  ( # `  y
) )  =  (
# `  B )  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) )
7563, 74sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( (
card `  A )  +o  ( card `  y
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) ) )
7654, 75sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( (
card `  A )  +o  ( card `  y
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B
) )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) ) )
7753, 76syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( (
card `  A )  +o  ( card `  y
) )  =  (
card `  B )  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) )
7852, 77sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( (
card `  A )  +o  y )  =  (
card `  B )  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) )
7978rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. y  e. 
om  ( ( card `  A )  +o  y
)  =  ( card `  B )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) ) )
8048, 79impbid 183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  E. y  e.  om  ( ( card `  A
)  +o  y )  =  ( card `  B
) ) )
81 nnawordex 6635 . . . . 5  |-  ( ( ( card `  A
)  e.  om  /\  ( card `  B )  e.  om )  ->  (
( card `  A )  C_  ( card `  B
)  <->  E. y  e.  om  ( ( card `  A
)  +o  y )  =  ( card `  B
) ) )
8226, 39, 81syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  C_  ( card `  B )  <->  E. y  e.  om  ( ( card `  A )  +o  y
)  =  ( card `  B ) ) )
83 finnum 7581 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
84 finnum 7581 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  B  e.  dom  card )
85 carddom2 7610 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  A )  C_  ( card `  B )  <->  A  ~<_  B ) )
8683, 84, 85syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  C_  ( card `  B )  <->  A  ~<_  B ) )
8780, 82, 863bitr2d 272 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
8887adantlr 695 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  <_  ( # `
 B )  <->  A  ~<_  B ) )
89 hashxrcl 11351 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
9089ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
91 pnfge 10469 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  e.  RR*  ->  ( # `  A
)  <_  +oo )
9290, 91syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 A )  <_  +oo )
93 hashinf 11342 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  =  +oo )
9493adantll 694 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 B )  = 
+oo )
9592, 94breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )
96 isinffi 7625 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f  f : A -1-1-> B )
9796ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E. f  f : A -1-1-> B )
9897adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
99 brdomg 6872 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
10099ad2antlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
10198, 100mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  A  ~<_  B )
10295, 1012thd 231 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  (
( # `  A )  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
10388, 102pm2.61dan 766 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   omcom 4656   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422    +o coa 6476    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   cardccrd 7568   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  hashdomi  11362  hashsdom  11363  hashun2  11365  hashsslei  11378  hashfun  11389  hashf1  11395  isercoll  12141  phicl2  12836  phibnd  12839  prmreclem2  12964  prmreclem3  12965  4sqlem11  13002  vdwlem11  13038  ramub2  13061  0ram  13067  ram0  13069  sylow1lem4  14912  pgpssslw  14925  fislw  14936  znfld  16514  znidomb  16515  fta1blem  19554  birthdaylem3  20248  basellem4  20321  ppiwordi  20400  musum  20431  ppiub  20443  chpub  20459  lgsqrlem4  20583  derangenlem  23702  subfaclefac  23707  erdsze2lem1  23734  umgraex  23875  konigsberg  23911  snmlff  23912  idomsubgmo  27514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
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