MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdomi Unicode version

Theorem hashdomi 11378
Description: Non-strict order relation of the  # function on the full cardinal poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdomi  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )

Proof of Theorem hashdomi
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  A  e.  Fin )  ->  A  ~<_  B )
2 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
3 reldom 6885 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
43brrelex2i 4746 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
54adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  A  e.  Fin )  ->  B  e.  _V )
6 hashdom 11377 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
72, 5, 6syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( # `  A )  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
81, 7mpbird 223 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  A  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )
9 pnfxr 10471 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
10 pnfge 10485 . . . 4  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
119, 10mp1i 11 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  +oo  <_  +oo )
123brrelexi 4745 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
13 hashinf 11358 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
1412, 13sylan 457 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
154adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  B  e.  _V )
16 domfi 7100 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~<_  B )  ->  A  e.  Fin )
1716expcom 424 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( B  e.  Fin  ->  A  e.  Fin ) )
1817con3and 428 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  B  e.  Fin )
19 hashinf 11358 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  =  +oo )
2015, 18, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  =  +oo )
2111, 14, 203brtr4d 4069 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )
228, 21pm2.61dan 766 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   ` cfv 5271    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    <_ cle 8884   #chash 11353
This theorem is referenced by:  o1fsum  12287  incexc2  12313  dchrisum0re  20678  hashge0  23401  esumcst  23451  idomodle  27615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
  Copyright terms: Public domain W3C validator