MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdvds Unicode version

Theorem hashdvds 12843
Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashdvds.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
hashdvds.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
hashdvds.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1
) ) )
hashdvds.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
hashdvds  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } )  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, N
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem hashdvds
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10053 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
21a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 hashdvds.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1
) ) )
4 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) )  ->  B  e.  ZZ )
53, 4syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
6 hashdvds.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
75, 6zsubcld 10122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  e.  ZZ )
87zred 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  C
)  e.  RR )
9 hashdvds.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
108, 9nndivred 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  C )  /  N
)  e.  RR )
1110flcld 10930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  e.  ZZ )
12 hashdvds.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
13 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
1514, 6zsubcld 10122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  -  C
)  e.  ZZ )
1615zred 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  -  C
)  e.  RR )
1716, 9nndivred 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  e.  RR )
1817flcld 10930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  e.  ZZ )
1911, 18zsubcld 10122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  e.  ZZ )
20 fzen 10811 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  e.  ZZ )  ->  (
1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  (
( 1  +  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ... ( ( ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  +  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) ) ) ) )
212, 19, 18, 20syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  ( ( 1  +  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ... ( ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) ) )  +  ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) ) ) ) )
22 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2318zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  e.  CC )
24 addcom 8998 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) )
2522, 23, 24sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) )
2611zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  e.  CC )
2726, 23npcand 9161 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  +  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  =  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )
2825, 27oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) ) ) ... (
( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  +  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) ) )
2921, 28breqtrd 4047 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) ) )
30 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )  e. 
_V
3130a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  e.  _V )
32 fzfi 11034 . . . . . 6  |-  ( A ... B )  e. 
Fin
33 rabexg 4164 . . . . . 6  |-  ( ( A ... B )  e.  Fin  ->  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) }  e.  _V )
3432, 33mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  (
x  -  C ) }  e.  _V )
35 elfzle1 10799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 )  <_  z )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 )  <_  z
)
37 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
38 zltp1le 10067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  <  z  <->  ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 )  <_  z ) )
3918, 37, 38syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  < 
z  <->  ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 )  <_  z
) )
4036, 39mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  <  z
)
41 fllt 10938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N )  <  z  <->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  <  z ) )
4217, 37, 41syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N )  <  z  <->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  <  z
) )
4340, 42mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  /  N )  < 
z )
4416adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  -  C )  e.  RR )
4537adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
4645zred 10117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  z  e.  RR )
479nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
489nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  N )
4947, 48jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
51 ltdivmul2 9631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  -  C
)  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N )  <  z  <->  ( ( A  -  1 )  -  C )  <  ( z  x.  N ) ) )
5244, 46, 50, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N )  <  z  <->  ( ( A  -  1 )  -  C )  < 
( z  x.  N
) ) )
5343, 52mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  -  C )  < 
( z  x.  N
) )
5414zred 10117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
566zred 10117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  C  e.  RR )
589nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
6045, 59zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( z  x.  N )  e.  ZZ )
6160zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( z  x.  N )  e.  RR )
6255, 57, 61ltsubaddd 9368 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  <  ( z  x.  N )  <->  ( A  -  1 )  < 
( ( z  x.  N )  +  C
) ) )
6353, 62mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( A  -  1 )  < 
( ( z  x.  N )  +  C
) )
6412adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
656adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
6660, 65zaddcld 10121 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
z  x.  N )  +  C )  e.  ZZ )
67 zlem1lt 10069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( z  x.  N )  +  C
)  e.  ZZ )  ->  ( A  <_ 
( ( z  x.  N )  +  C
)  <->  ( A  - 
1 )  <  (
( z  x.  N
)  +  C ) ) )
6864, 66, 67syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( A  <_  ( ( z  x.  N )  +  C
)  <->  ( A  - 
1 )  <  (
( z  x.  N
)  +  C ) ) )
6963, 68mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  A  <_  ( ( z  x.  N
)  +  C ) )
70 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) )
7170adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )
72 flge 10937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  (
( B  -  C
)  /  N )  <-> 
z  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) ) )
7310, 37, 72syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( z  <_  ( ( B  -  C )  /  N
)  <->  z  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )
7471, 73mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  z  <_  ( ( B  -  C
)  /  N ) )
758adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( B  -  C )  e.  RR )
76 lemuldiv 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( B  -  C
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
z  x.  N )  <_  ( B  -  C )  <->  z  <_  ( ( B  -  C
)  /  N ) ) )
7746, 75, 50, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
z  x.  N )  <_  ( B  -  C )  <->  z  <_  ( ( B  -  C
)  /  N ) ) )
7874, 77mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( z  x.  N )  <_  ( B  -  C )
)
795zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
8079adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
81 leaddsub 9250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  x.  N
)  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( z  x.  N )  +  C
)  <_  B  <->  ( z  x.  N )  <_  ( B  -  C )
) )
8261, 57, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( z  x.  N
)  +  C )  <_  B  <->  ( z  x.  N )  <_  ( B  -  C )
) )
8378, 82mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
z  x.  N )  +  C )  <_  B )
845adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
85 elfz 10788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  x.  N )  +  C
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( z  x.  N )  +  C
)  e.  ( A ... B )  <->  ( A  <_  ( ( z  x.  N )  +  C
)  /\  ( (
z  x.  N )  +  C )  <_  B ) ) )
8666, 64, 84, 85syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( z  x.  N
)  +  C )  e.  ( A ... B )  <->  ( A  <_  ( ( z  x.  N )  +  C
)  /\  ( (
z  x.  N )  +  C )  <_  B ) ) )
8769, 83, 86mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
z  x.  N )  +  C )  e.  ( A ... B
) )
88 dvdsmul2 12551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( z  x.  N ) )
8945, 59, 88syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  N  ||  (
z  x.  N ) )
9060zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( z  x.  N )  e.  CC )
916zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
9291adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  C  e.  CC )
9390, 92pncand 9158 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
( z  x.  N
)  +  C )  -  C )  =  ( z  x.  N
) )
9489, 93breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  N  ||  (
( ( z  x.  N )  +  C
)  -  C ) )
95 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( z  x.  N )  +  C )  ->  (
x  -  C )  =  ( ( ( z  x.  N )  +  C )  -  C ) )
9695breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( z  x.  N )  +  C )  ->  ( N  ||  ( x  -  C )  <->  N  ||  (
( ( z  x.  N )  +  C
)  -  C ) ) )
9796elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  x.  N
)  +  C )  e.  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) }  <->  ( (
( z  x.  N
)  +  C )  e.  ( A ... B )  /\  N  ||  ( ( ( z  x.  N )  +  C )  -  C
) ) )
9887, 94, 97sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  ( (
z  x.  N )  +  C )  e. 
{ x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  (
x  -  C ) } )
9998ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  ->  ( ( z  x.  N )  +  C )  e.  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } ) )
100 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  C )  =  ( y  -  C ) )
101100breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( N  ||  ( x  -  C )  <->  N  ||  (
y  -  C ) ) )
102101elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) }  <->  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )
10354adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
104 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( A ... B )  ->  y  e.  ZZ )
105104ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
106105zred 10117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  y  e.  RR )
10756adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  C  e.  RR )
108 elfzle1 10799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( A ... B )  ->  A  <_  y )
109108ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  A  <_  y )
11012adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
111 zlem1lt 10069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  y  <->  ( A  -  1 )  <  y ) )
112110, 105, 111syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( A  <_  y  <->  ( A  -  1 )  < 
y ) )
113109, 112mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( A  -  1 )  <  y )
114103, 106, 107, 113ltsub1dd 9384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( A  -  1 )  -  C )  <  ( y  -  C ) )
11516adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( A  -  1 )  -  C )  e.  RR )
1166adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
117105, 116zsubcld 10122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
y  -  C )  e.  ZZ )
118117zred 10117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
y  -  C )  e.  RR )
11949adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
120 ltdiv1 9620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  -  C
)  e.  RR  /\  ( y  -  C
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  <  ( y  -  C )  <->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  /  N )  < 
( ( y  -  C )  /  N
) ) )
121115, 118, 119, 120syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  <  ( y  -  C )  <->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  /  N )  < 
( ( y  -  C )  /  N
) ) )
122114, 121mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N )  <  ( ( y  -  C )  /  N ) )
12317adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N )  e.  RR )
124 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  N  ||  ( y  -  C
) )
12558adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
1269nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
127126adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  N  =/=  0 )
128 dvdsval2 12534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  (
y  -  C )  e.  ZZ )  -> 
( N  ||  (
y  -  C )  <-> 
( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ZZ ) )
129125, 127, 117, 128syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( N  ||  ( y  -  C )  <->  ( (
y  -  C )  /  N )  e.  ZZ ) )
130124, 129mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( y  -  C
)  /  N )  e.  ZZ )
131 fllt 10938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  ( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N )  < 
( ( y  -  C )  /  N
)  <->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  <  (
( y  -  C
)  /  N ) ) )
132123, 130, 131syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  <  ( (
y  -  C )  /  N )  <->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  <  (
( y  -  C
)  /  N ) ) )
133122, 132mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  < 
( ( y  -  C )  /  N
) )
13418adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  e.  ZZ )
135 zltp1le 10067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  < 
( ( y  -  C )  /  N
)  <->  ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 )  <_  (
( y  -  C
)  /  N ) ) )
136134, 130, 135syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  <  ( ( y  -  C )  /  N )  <->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 )  <_  (
( y  -  C
)  /  N ) ) )
137133, 136mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 )  <_  ( ( y  -  C )  /  N ) )
13879adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  B  e.  RR )
139 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A ... B )  ->  y  <_  B )
140139ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  y  <_  B )
141106, 138, 107, 140lesub1dd 9388 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
y  -  C )  <_  ( B  -  C ) )
1428adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( B  -  C )  e.  RR )
143 lediv1 9621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  -  C
)  e.  RR  /\  ( B  -  C
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
y  -  C )  <_  ( B  -  C )  <->  ( (
y  -  C )  /  N )  <_ 
( ( B  -  C )  /  N
) ) )
144118, 142, 119, 143syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( y  -  C
)  <_  ( B  -  C )  <->  ( (
y  -  C )  /  N )  <_ 
( ( B  -  C )  /  N
) ) )
145141, 144mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( y  -  C
)  /  N )  <_  ( ( B  -  C )  /  N ) )
14610adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( B  -  C
)  /  N )  e.  RR )
147 flge 10937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  ( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  -  C )  /  N )  <_ 
( ( B  -  C )  /  N
)  <->  ( ( y  -  C )  /  N )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )
148146, 130, 147syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( y  -  C )  /  N
)  <_  ( ( B  -  C )  /  N )  <->  ( (
y  -  C )  /  N )  <_ 
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) ) )
149145, 148mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( y  -  C
)  /  N )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )
15018peano2zd 10120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  +  1 )  e.  ZZ )
151150adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 )  e.  ZZ )
15211adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  e.  ZZ )
153 elfz 10788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( y  -  C )  /  N )  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  <-> 
( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 )  <_  (
( y  -  C
)  /  N )  /\  ( ( y  -  C )  /  N )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) ) )
154130, 151, 152, 153syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( ( y  -  C )  /  N
)  e.  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )  <->  ( (
( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 )  <_  ( ( y  -  C )  /  N )  /\  (
( y  -  C
)  /  N )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) ) ) )
155137, 149, 154mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
( y  -  C
)  /  N )  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) ) ) )
156155ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) )  ->  ( (
y  -  C )  /  N )  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) ) )
157102, 156syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) }  ->  ( ( y  -  C )  /  N )  e.  ( ( ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) ) )
158102anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )  /\  y  e.  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )  <->  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )
159117zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  (
y  -  C )  e.  CC )
160159adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( y  -  C
)  e.  CC )
16145zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) )  ->  z  e.  CC )
162161adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
z  e.  CC )
1639nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
164163adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  ->  N  e.  CC )
165126adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  ->  N  =/=  0 )
166160, 162, 164, 165divmul3d 9570 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( ( ( y  -  C )  /  N )  =  z  <-> 
( y  -  C
)  =  ( z  x.  N ) ) )
167105zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) )  ->  y  e.  CC )
168167adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
y  e.  CC )
16991adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  ->  C  e.  CC )
17090adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( z  x.  N
)  e.  CC )
171168, 169, 170subadd2d 9176 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( ( y  -  C )  =  ( z  x.  N )  <-> 
( ( z  x.  N )  +  C
)  =  y ) )
172166, 171bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( ( ( y  -  C )  /  N )  =  z  <-> 
( ( z  x.  N )  +  C
)  =  y ) )
173 eqcom 2285 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( y  -  C )  /  N )  <->  ( (
y  -  C )  /  N )  =  z )
174 eqcom 2285 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( z  x.  N )  +  C )  <->  ( (
z  x.  N )  +  C )  =  y )
175172, 173, 1743bitr4g 279 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  ( y  e.  ( A ... B
)  /\  N  ||  (
y  -  C ) ) ) )  -> 
( z  =  ( ( y  -  C
)  /  N )  <-> 
y  =  ( ( z  x.  N )  +  C ) ) )
176158, 175sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  y  e.  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } ) )  ->  (
z  =  ( ( y  -  C )  /  N )  <->  y  =  ( ( z  x.  N )  +  C
) ) )
177176ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )  /\  y  e.  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } )  ->  ( z  =  ( ( y  -  C )  /  N )  <->  y  =  ( ( z  x.  N )  +  C
) ) ) )
17831, 34, 99, 157, 177en3d 6898 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) 
~~  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )
179 entr 6913 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  ( ( ( |_ `  (
( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) ) )  /\  ( ( ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) ) ) 
~~  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )  -> 
( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )
18029, 178, 179syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )
181 fzfi 11034 . . . 4  |-  ( 1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  e.  Fin
182 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) }  C_  ( A ... B )
183 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( ( A ... B
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } 
C_  ( A ... B ) )  ->  { x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) }  e.  Fin )
18432, 182, 183mp2an 653 . . . 4  |-  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) }  e.  Fin
185 hashen 11346 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  (
1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ) )  =  ( # `  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } )  <->  ( 1 ... ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } ) )
186181, 184, 185mp2an 653 . . 3  |-  ( (
# `  ( 1 ... ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ) )  =  (
# `  { x  e.  ( A ... B
)  |  N  ||  ( x  -  C
) } )  <->  ( 1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )  ~~  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } )
187180, 186sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ) )  =  ( # `  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } ) )
188 eluzle 10240 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) )  ->  ( A  -  1 )  <_  B )
1893, 188syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  <_  B )
190 zre 10028 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
191 zre 10028 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
192 zre 10028 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  RR )
193 lesub1 9268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  1 )  <_  B  <->  ( ( A  -  1 )  -  C )  <_ 
( B  -  C
) ) )
194190, 191, 192, 193syl3an 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  1 )  <_  B  <->  ( ( A  -  1 )  -  C )  <_ 
( B  -  C
) ) )
19514, 5, 6, 194syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  <_  B  <->  ( ( A  -  1 )  -  C )  <_  ( B  -  C ) ) )
196189, 195mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  -  C
)  <_  ( B  -  C ) )
197 lediv1 9621 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  -  C
)  e.  RR  /\  ( B  -  C
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  <_  ( B  -  C )  <->  ( (
( A  -  1 )  -  C )  /  N )  <_ 
( ( B  -  C )  /  N
) ) )
19816, 8, 49, 197syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  <_  ( B  -  C )  <->  ( ( ( A  - 
1 )  -  C
)  /  N )  <_  ( ( B  -  C )  /  N ) ) )
199196, 198mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  <_  ( ( B  -  C )  /  N ) )
200 flword2 10943 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  ( ( B  -  C )  /  N
)  e.  RR  /\  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
)  <_  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -> 
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )
20117, 10, 199, 200syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )
202 uznn0sub 10259 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  e.  NN0 )
203 hashfz1 11345 . . 3  |-  ( ( ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ) )  =  ( ( |_ `  (
( B  -  C
)  /  N ) )  -  ( |_
`  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )
204201, 202, 2033syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( ( |_
`  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N
) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N ) ) ) )
205187, 204eqtr3d 2317 1  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  ( A ... B )  |  N  ||  ( x  -  C ) } )  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  C )  /  N ) )  -  ( |_ `  ( ( ( A  -  1 )  -  C )  /  N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   |_cfl 10924   #chash 11337    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  phiprmpw  12844  prmreclem4  12966  ppiub  20443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fl 10925  df-hash 11338  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator