MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen Unicode version

Theorem hashen 11346
Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashen  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )

Proof of Theorem hashen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  =  ( # `  B
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A ) )  =  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) ) )
2 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
32hashginv 11341 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A
) )  =  (
card `  A )
)
42hashginv 11341 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) )  =  (
card `  B )
)
53, 4eqeqan12d 2298 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A ) )  =  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) )  <->  ( card `  A )  =  (
card `  B )
) )
61, 5syl5ib 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  ->  ( card `  A )  =  ( card `  B
) ) )
7 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( (
card `  A )  =  ( card `  B
)  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) ) )
82hashgval 11340 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
92hashgval 11340 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  =  ( # `  B
) )
108, 9eqeqan12d 2298 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  <-> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
117, 10syl5ib 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  =  ( card `  B )  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  B
) ) )
126, 11impbid 183 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  ( card `  A )  =  (
card `  B )
) )
13 finnum 7581 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
14 finnum 7581 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  B  e.  dom  card )
15 carden2 7620 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  A )  =  (
card `  B )  <->  A 
~~  B ) )
1613, 14, 15syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  =  ( card `  B )  <->  A  ~~  B ) )
1712, 16bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   omcom 4656   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   cardccrd 7568   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   #chash 11337
This theorem is referenced by:  hasheni  11347  hasheq0  11353  hashsng  11356  hashsdom  11363  hashxplem  11385  hashmap  11387  hashpw  11388  hashbclem  11390  isercolllem2  12139  isercoll  12141  fz1f1o  12183  summolem3  12187  summolem2a  12188  mertenslem1  12340  hashdvds  12843  crt  12846  phimullem  12847  eulerth  12851  4sqlem11  13002  lagsubg2  14678  orbsta2  14768  dfod2  14877  sylow1lem2  14910  sylow2alem2  14929  sylow2a  14930  slwhash  14935  sylow2  14937  sylow3lem1  14938  cyggenod  15171  lt6abl  15181  gsumval3  15191  ablfac1c  15306  ablfac1eu  15308  ablfaclem3  15322  fta1blem  19554  vieta1  19692  basellem5  20322  isppw  20352  derangen2  23705  subfacp1lem3  23713  subfacp1lem5  23715  erdsze2lem1  23734  erdsze2lem2  23735  eupai  23883  bpolylem  24783  eldioph2lem1  26839  frlmpwfi  27262  isnumbasgrplem3  27270  idomsubgmo  27514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator