MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen Structured version   Unicode version

Theorem hashen 11623
Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashen  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )

Proof of Theorem hashen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  =  ( # `  B
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A ) )  =  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) ) )
2 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
32hashginv 11614 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A
) )  =  (
card `  A )
)
42hashginv 11614 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) )  =  (
card `  B )
)
53, 4eqeqan12d 2450 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  A ) )  =  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( # `  B
) )  <->  ( card `  A )  =  (
card `  B )
) )
61, 5syl5ib 211 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  ->  ( card `  A )  =  ( card `  B
) ) )
7 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( (
card `  A )  =  ( card `  B
)  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) ) )
82hashgval 11613 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
92hashgval 11613 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  =  ( # `  B
) )
108, 9eqeqan12d 2450 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  B ) )  <-> 
( # `  A )  =  ( # `  B
) ) )
117, 10syl5ib 211 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  =  ( card `  B )  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  B
) ) )
126, 11impbid 184 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  ( card `  A )  =  (
card `  B )
) )
13 finnum 7827 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
14 finnum 7827 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  B  e.  dom  card )
15 carden2 7866 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  A )  =  (
card `  B )  <->  A 
~~  B ) )
1613, 14, 15syl2an 464 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( card `  A
)  =  ( card `  B )  <->  A  ~~  B ) )
1712, 16bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   omcom 4837   `'ccnv 4869   dom cdm 4870    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   reccrdg 6659    ~~ cen 7098   Fincfn 7101   cardccrd 7814   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985   #chash 11610
This theorem is referenced by:  hasheni  11624  hasheqf1o  11625  hasheq0  11636  hashsng  11639  hashsdom  11647  hash1snb  11673  hash2pr  11679  hashxplem  11688  hashmap  11690  hashpw  11691  hashbclem  11693  isercolllem2  12451  isercoll  12453  fz1f1o  12496  summolem3  12500  summolem2a  12501  mertenslem1  12653  hashdvds  13156  crt  13159  phimullem  13160  eulerth  13164  4sqlem11  13315  lagsubg2  14993  orbsta2  15083  dfod2  15192  sylow1lem2  15225  sylow2alem2  15244  sylow2a  15245  slwhash  15250  sylow2  15252  sylow3lem1  15253  cyggenod  15486  lt6abl  15496  gsumval3  15506  ablfac1c  15621  ablfac1eu  15623  ablfaclem3  15637  fta1blem  20083  vieta1  20221  basellem5  20859  isppw  20889  eupai  21681  derangen2  24852  subfacp1lem3  24860  subfacp1lem5  24862  erdsze2lem1  24881  erdsze2lem2  24882  prodmolem3  25251  prodmolem2a  25252  bpolylem  26086  eldioph2lem1  26809  frlmpwfi  27230  isnumbasgrplem3  27238  idomsubgmo  27482  euhash1  28145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-hash 11611
  Copyright terms: Public domain W3C validator