MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheq0 Structured version   Unicode version

Theorem hasheq0 11644
Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hasheq0  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem hasheq0
StepHypRef Expression
1 pnfnre 9127 . . . . . . 7  |-  +oo  e/  RR
21neli 2697 . . . . . 6  |-  -.  +oo  e.  RR
3 hashinf 11623 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
43eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  e.  RR  <->  +oo 
e.  RR ) )
52, 4mtbiri 295 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( # `  A
)  e.  RR )
6 id 20 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  =  0  ->  ( # `
 A )  =  0 )
7 0re 9091 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
86, 7syl6eqel 2524 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  =  0  ->  ( # `
 A )  e.  RR )
95, 8nsyl 115 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  ( # `  A
)  =  0 )
10 id 20 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  A  =  (/) )
11 0fin 7336 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
1210, 11syl6eqel 2524 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  A  e. 
Fin )
1312con3i 129 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  A  =  (/) )
1413adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  A  =  (/) )
159, 142falsed 341 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  =  0  <-> 
A  =  (/) ) )
1615ex 424 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( # `  A
)  =  0  <->  A  =  (/) ) ) )
17 hashen 11631 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  (/) 
e.  Fin )  ->  (
( # `  A )  =  ( # `  (/) )  <->  A  ~~  (/) ) )
1811, 17mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =  ( # `  (/) )  <->  A  ~~  (/) ) )
19 fz10 11075 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2019fveq2i 5731 . . . . 5  |-  ( # `  ( 1 ... 0
) )  =  (
# `  (/) )
21 0nn0 10236 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
22 hashfz1 11630 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... 0
) )  =  0 )
2321, 22ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( # `  ( 1 ... 0
) )  =  0
2420, 23eqtr3i 2458 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2524eqeq2i 2446 . . 3  |-  ( (
# `  A )  =  ( # `  (/) )  <->  ( # `  A
)  =  0 )
26 en0 7170 . . 3  |-  ( A 
~~  (/)  <->  A  =  (/) )
2718, 25, 263bitr3g 279 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
2816, 27pm2.61d2 154 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~~ cen 7106   Fincfn 7109   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    +oocpnf 9117   NN0cn0 10221   ...cfz 11043   #chash 11618
This theorem is referenced by:  hashnncl  11645  hash0  11646  hashgt0  11662  hashle00  11669  seqcoll2  11713  wrdind  11791  rev0  11796  fz1f1o  12504  hashbc0  13373  0hashbc  13375  ram0  13390  sylow1lem1  15232  sylow1lem4  15235  sylow2blem3  15256  frgpnabllem1  15484  vieta1lem2  20228  isusgra0  21376  usgrafisindb0  21422  vdusgra0nedg  21679  usgravd0nedg  21683  hasheuni  24475  wrdlenge2n0  28176  swrdtrcfv0  28195  swrdccat3a  28217  swrdccat3blem  28218  2cshwmod  28257  swrdtrcfvl  28265  vdn0frgrav2  28414  vdgn0frgrav2  28415  frgrawopreg  28438  frgregordn0  28459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619
  Copyright terms: Public domain W3C validator