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Theorem hashf 11627
Description: The size function maps all finite sets to their cardinality, as members of  NN0, and infinite sets to  +oo. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashf  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  {  +oo } )

Proof of Theorem hashf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
31, 2hashkf 11622 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0
4 pnfxr 10715 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
54elexi 2967 . . . . 5  |-  +oo  e.  _V
65fconst 5631 . . . 4  |-  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) : ( _V  \  Fin ) --> {  +oo }
73, 6pm3.2i 443 . . 3  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0  /\  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) : ( _V 
\  Fin ) --> {  +oo } )
8 disjdif 3702 . . 3  |-  ( Fin 
i^i  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)
9 fun 5609 . . 3  |-  ( ( ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0 
/\  ( ( _V 
\  Fin )  X.  {  +oo } ) : ( _V  \  Fin ) --> {  +oo } )  /\  ( Fin  i^i  ( _V 
\  Fin ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  ( ( _V  \  Fin )  X. 
{  +oo } ) ) : ( Fin  u.  ( _V  \  Fin )
) --> ( NN0  u.  { 
+oo } ) )
107, 8, 9mp2an 655 . 2  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  ( ( _V  \  Fin )  X. 
{  +oo } ) ) : ( Fin  u.  ( _V  \  Fin )
) --> ( NN0  u.  { 
+oo } )
11 df-hash 11621 . . . 4  |-  #  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )
1211feq1i 5587 . . 3  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { 
+oo } )  <->  ( (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  ( ( _V  \  Fin )  X. 
{  +oo } ) ) : _V --> ( NN0 
u.  {  +oo } ) )
13 undifv 3704 . . . 4  |-  ( Fin 
u.  ( _V  \  Fin ) )  =  _V
1413feq2i 5588 . . 3  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) ) : ( Fin  u.  ( _V 
\  Fin ) ) --> ( NN0  u.  {  +oo } )  <->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) ) : _V --> ( NN0  u.  {  +oo } ) )
1512, 14bitr4i 245 . 2  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { 
+oo } )  <->  ( (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  ( ( _V  \  Fin )  X. 
{  +oo } ) ) : ( Fin  u.  ( _V  \  Fin )
) --> ( NN0  u.  { 
+oo } ) )
1610, 15mpbir 202 1  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  {  +oo } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321   (/)c0 3630   {csn 3816    e. cmpt 4268   omcom 4847    X. cxp 4878    |` cres 4882    o. ccom 4884   -->wf 5452  (class class class)co 6083   reccrdg 6669   Fincfn 7111   cardccrd 7824   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121   NN0cn0 10223   #chash 11620
This theorem is referenced by:  hashnn0pnf  11628  hashxrcl  11642  hashgval2  11654  hashresfn  24158  dmhashres  24159  esumcst  24457  hashf2  24476  coinflippv  24743  erdszelem2  24880  erdszelem5  24883  erdszelem7  24885  erdszelem8  24886
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-hash 11621
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