MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1 Structured version   Unicode version

Theorem hashf1 11696
Description: The permutation number  |  A  |  !  x.  (  |  B  |  _C  |  A  |  )  =  |  B  |  !  /  (  |  B  |  -  |  A  | 
) ! counts the number of injections from  A to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashf1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem hashf1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 5627 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( f : x -1-1-> B  <->  f : (/) -1-1->
B ) )
2 f1fn 5632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : (/) -1-1-> B  ->  f  Fn  (/) )
3 fn0 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  (/)  <->  f  =  (/) )
42, 3sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : (/) -1-1-> B  ->  f  =  (/) )
5 f10 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/) : (/) -1-1-> B
6 f1eq1 5626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f : (/) -1-1-> B  <->  (/) : (/) -1-1-> B ) )
75, 6mpbiri 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (/)  ->  f :
(/) -1-1-> B )
84, 7impbii 181 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : (/) -1-1-> B  <->  f  =  (/) )
9 elsn 3821 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  { (/) }  <->  f  =  (/) )
108, 9bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( f : (/) -1-1-> B  <->  f  e.  { (/)
} )
111, 10syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( f : x -1-1-> B  <->  f  e.  {
(/) } ) )
1211abbi1dv 2551 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  f : x
-1-1-> B }  =  { (/)
} )
1312fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  f : x -1-1-> B }
)  =  ( # `  { (/) } ) )
14 0ex 4331 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
15 hashsng 11637 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( # `  { (/)
} )  =  1 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( # `  { (/) } )  =  1
1713, 16syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  f : x -1-1-> B }
)  =  1 )
18 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
19 hash0 11636 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  (/) )  =  0
2018, 19syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
2120fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ! `
 ( # `  x
) )  =  ( ! `  0 ) )
22 fac0 11559 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2321, 22syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ! `
 ( # `  x
) )  =  1 )
2420oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) )  =  ( ( # `  B
)  _C  0 ) )
2523, 24oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  x ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( # `  B
)  _C  0 ) ) )
2617, 25eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  <->  1  =  ( 1  x.  (
( # `  B )  _C  0 ) ) ) )
2726imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  (
# `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( B  e.  Fin  ->  1  =  ( 1  x.  ( ( # `  B )  _C  0
) ) ) ) )
28 f1eq2 5627 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
f : x -1-1-> B  <->  f : y -1-1-> B ) )
2928abbidv 2549 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  { f  |  f : x
-1-1-> B }  =  {
f  |  f : y -1-1-> B } )
3029fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 { f  |  f : x -1-1-> B } )  =  (
# `  { f  |  f : y
-1-1-> B } ) )
31 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
3231fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  ( # `  x
) )  =  ( ! `  ( # `  y ) ) )
3331oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) )  =  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  y ) ) )
3432, 33oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  ( # `
 x ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  y ) ) ) )
3530, 34eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  <->  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) )
3635imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  x
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) ) )
37 f1eq2 5627 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( f : x -1-1-> B  <->  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
3837abbidv 2549 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  { f  |  f : x -1-1-> B }  =  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }
)
3938fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  {
f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } ) )
40 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )
4140fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ! `  ( # `  x ) )  =  ( ! `
 ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) )
4240oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) )  =  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
4341, 42oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ! `
 ( # `  x
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) )
4439, 43eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  { f  |  f : x -1-1-> B }
)  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  x ) ) )  <-> 
( # `  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
4544imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 x ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) ) ) )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) ) )
46 f1eq2 5627 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> B  <->  f : A -1-1-> B ) )
4746abbidv 2549 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  { f  |  f : x
-1-1-> B }  =  {
f  |  f : A -1-1-> B } )
4847fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 { f  |  f : x -1-1-> B } )  =  (
# `  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
49 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
5049fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( ! `  ( # `  x
) )  =  ( ! `  ( # `  A ) ) )
5149oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) )  =  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  A ) ) )
5250, 51oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ! `  ( # `
 x ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  A ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  A ) ) ) )
5348, 52eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  <->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) ) )
5453imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  x
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) ) ) )
55 hashcl 11629 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
56 bcn0 11591 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 B )  _C  0 )  =  1 )
5755, 56syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  _C  0 )  =  1 )
5857oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
1  x.  ( (
# `  B )  _C  0 ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
59 1t1e1 10116 . . . 4  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6058, 59syl6req 2484 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  1  =  ( 1  x.  ( ( # `  B
)  _C  0 ) ) )
61 abn0 3638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B }  =/=  (/)  <->  E. f  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B
)
62 f1domg 7119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( y  u.  { z } )  ~<_  B ) )
6362adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( y  u.  { z } )  ~<_  B ) )
64 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
65 hashunsng 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
6664, 65ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (
# `  y )  +  1 ) )
6867breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( y  u.  { z } ) )  <_  ( # `
 B )  <->  ( ( # `
 y )  +  1 )  <_  ( # `
 B ) ) )
69 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  y  e.  Fin )
70 snfi 7179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  e.  Fin
71 unfi 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
7269, 70, 71sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
73 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  B  e.  Fin )
74 hashdom 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( (
# `  ( y  u.  { z } ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( y  u. 
{ z } )  ~<_  B ) )
7572, 73, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( y  u.  { z } ) )  <_  ( # `
 B )  <->  ( y  u.  { z } )  ~<_  B ) )
76 hashcl 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
7776ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
78 nn0p1nn 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  y )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  y )  +  1 )  e.  NN )
8079nnred 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  y )  +  1 )  e.  RR )
8155adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
8281nn0red 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 B )  e.  RR )
8380, 82lenltd 9209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  <_  ( # `  B
)  <->  -.  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )
8468, 75, 833bitr3d 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( y  u.  {
z } )  ~<_  B  <->  -.  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )
8563, 84sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  -.  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
8685exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( E. f  f :
( y  u.  {
z } ) -1-1-> B  ->  -.  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )
8761, 86syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( { f  |  f : ( y  u. 
{ z } )
-1-1-> B }  =/=  (/)  ->  -.  ( # `  B )  <  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )
8887necon4ad 2659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  B )  <  ( ( # `  y )  +  1 )  ->  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }  =  (/) ) )
8988imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }  =  (/) )
9089fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  (
# `  (/) ) )
91 hashcl 11629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  u.  { z } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  e. 
NN0 )
9272, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  e.  NN0 )
93 faccl 11566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( y  u.  { z } ) )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  NN )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  e.  NN )
9594nncnd 10006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  e.  CC )
9695adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  e.  CC )
9796mul01d 9255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  0 )  =  0 )
9819, 90, 973eqtr4a 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  0 ) )
9967adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
10099oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  B )  _C  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
10181adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
10279adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN )
103102nnzd 10364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  ZZ )
104 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) )
105104olcd 383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  <  0  \/  ( # `  B )  <  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
106 bcval4 11588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  B
)  e.  NN0  /\  ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
( ( # `  y
)  +  1 )  <  0  \/  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) ) )  ->  (
( # `  B )  _C  ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  0 )
107101, 103, 105, 106syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  =  0 )
108100, 107eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  0 )
109108oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  { z } ) ) )  x.  0 ) )
11098, 109eqtr4d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) )
111110a1d 23 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
112 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { f  |  f : y
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } ) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) )
11369adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  y  e.  Fin )
11473adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  B  e.  Fin )
115 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  -.  z  e.  y )
116 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  <_  ( # `
 B ) )
117113, 114, 115, 116hashf1lem2 11695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } ) ) )
11881adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
119 faccl 11566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  B
) )  e.  NN )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  B
) )  e.  NN )
121120nncnd 10006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  B
) )  e.  CC )
12277adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  NN0 )
123 peano2nn0 10250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  y )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN0 )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN0 )
125 nn0sub2 10325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 B )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 y )  +  1 )  <_  ( # `
 B ) )  ->  ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) )  e.  NN0 )
126124, 118, 116, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  e.  NN0 )
127 faccl 11566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) )  e.  NN )
128126, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  e.  NN )
129128nncnd 10006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  e.  CC )
130128nnne0d 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  =/=  0 )
131121, 129, 130divcld 9780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
132 faccl 11566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( # `  y )  +  1 ) )  e.  NN )
133124, 132syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  e.  NN )
134133nncnd 10006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  e.  CC )
135133nnne0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  =/=  0 )
136131, 134, 135divcan2d 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ! `  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) ) )
137118nn0cnd 10266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
138122nn0cnd 10266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  CC )
139137, 138subcld 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  CC )
140 ax-1cn 9038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
141 npcan 9304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )
142139, 140, 141sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) )
143140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  1  e.  CC )
144137, 138, 143subsub4d 9432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 )  =  ( (
# `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )
145144, 126eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 )  e.  NN0 )
146 nn0p1nn 10249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  - 
1 )  e.  NN0  ->  ( ( ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 )  +  1 )  e.  NN )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  - 
1 )  +  1 )  e.  NN )
148142, 147eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  NN )
149148nnne0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  =/=  0 )
150131, 139, 149divcan2d 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  x.  (
( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) )  /  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) ) )
151136, 150eqtr4d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ! `  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
15267adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
153152fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
154 nn0uz 10510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
155124, 154syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
156118nn0zd 10363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
157 elfz5 11041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  ( # `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( (
# `  y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( # `  y
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) ) )
158155, 156, 157syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( # `  y
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) ) )
159116, 158mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
160 bcval2 11586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  ->  (
( # `  B )  _C  ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) ) )
161159, 160syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  / 
( ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) ) )
162152oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  B )  _C  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
163121, 129, 134, 130, 135divdiv1d 9811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  (
( ! `  (
( # `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) ) )
164161, 162, 1633eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( # `  B ) )  / 
( ! `  (
( # `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )
165153, 164oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) ) ) )
166122, 154syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
167 peano2fzr 11059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( # `  y
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
168166, 159, 167syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
169 bcval2 11586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  y )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  (
( ! `  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) )  x.  ( ! `  ( # `
 y ) ) ) ) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  y
) )  =  ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) )  x.  ( ! `
 ( # `  y
) ) ) ) )
171 elfzle2 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  y )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( # `  y
)  <_  ( # `  B
) )
172168, 171syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  <_  ( # `  B
) )
173 nn0sub2 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 y )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  NN0 )
174122, 118, 172, 173syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  NN0 )
175 faccl 11566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  e. 
NN0  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  e.  NN )
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  e.  NN )
177176nncnd 10006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  e.  CC )
178 faccl 11566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  y )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  e.  NN )
179122, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  e.  NN )
180179nncnd 10006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  e.  CC )
181176nnne0d 10034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =/=  0 )
182179nnne0d 10034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  =/=  0
)
183121, 177, 180, 181, 182divdiv1d 9811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) )  /  ( ! `
 ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ( ! `  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) )  x.  ( ! `  ( # `
 y ) ) ) ) )
184170, 183eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  y
) )  =  ( ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )  /  ( ! `  ( # `  y
) ) ) )
185184oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) )  /  ( ! `
 ( # `  y
) ) ) ) )
186 facnn2 11565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 ) )  x.  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
187148, 186syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 ) )  x.  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
188144fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  -  1 ) )  =  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )
189188oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 ) )  x.  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
190187, 189eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
191190oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ( ! `  ( (
# `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
192121, 177, 181divcld 9780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) ) ) )  e.  CC )
193192, 180, 182divcan2d 9782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )  /  ( ! `  ( # `  y
) ) ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) ) ) ) )
194121, 129, 139, 130, 149divdiv1d 9811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )  /  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ( ! `  ( (
# `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
195191, 193, 1943eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )  /  ( ! `  ( # `  y
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( # `  B ) )  / 
( ! `  (
( # `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )
196185, 195eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) )
197196oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  x.  (
( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) ) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
198151, 165, 1973eqtr4d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  x.  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) )
199117, 198eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  <->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  x.  ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } ) )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  x.  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) ) )
200112, 199syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
201111, 200, 82, 80ltlecasei 9171 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  { f  |  f : y
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  -> 
( # `  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
202201expcom 425 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) ) )
203202a2d 24 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) ) )  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) ) ) ) )
20427, 36, 45, 54, 60, 203findcard2s 7341 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 A ) ) ) ) )
205204imp 419 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    u. cun 3310   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    Fn wfn 5441   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ~<_ cdom 7099   Fincfn 7101   CCcc 8978   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281    / cdiv 9667   NNcn 9990   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   ...cfz 11033   !cfa 11556    _C cbc 11583   #chash 11608
This theorem is referenced by:  hashfac  11697  birthdaylem2  20781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-seq 11314  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609
  Copyright terms: Public domain W3C validator