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Theorem hashf1 11395
Description: The permutation number  |  A  |  !  x.  (  |  B  |  _C  |  A  |  )  =  |  B  |  !  /  (  |  B  |  -  |  A  | 
) ! counts the number of injections from  A to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashf1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem hashf1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 5433 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( f : x -1-1-> B  <->  f : (/) -1-1->
B ) )
2 f1fn 5438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : (/) -1-1-> B  ->  f  Fn  (/) )
3 fn0 5363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  (/)  <->  f  =  (/) )
42, 3sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : (/) -1-1-> B  ->  f  =  (/) )
5 f10 5507 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/) : (/) -1-1-> B
6 f1eq1 5432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f : (/) -1-1-> B  <->  (/) : (/) -1-1-> B ) )
75, 6mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (/)  ->  f :
(/) -1-1-> B )
84, 7impbii 180 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : (/) -1-1-> B  <->  f  =  (/) )
9 elsn 3655 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  { (/) }  <->  f  =  (/) )
108, 9bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( f : (/) -1-1-> B  <->  f  e.  { (/)
} )
111, 10syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( f : x -1-1-> B  <->  f  e.  {
(/) } ) )
1211abbi1dv 2399 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  f : x
-1-1-> B }  =  { (/)
} )
1312fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  f : x -1-1-> B }
)  =  ( # `  { (/) } ) )
14 0ex 4150 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
15 hashsng 11356 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( # `  { (/)
} )  =  1 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( # `  { (/) } )  =  1
1713, 16syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  f : x -1-1-> B }
)  =  1 )
18 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
19 hash0 11355 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  (/) )  =  0
2018, 19syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
2120fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ! `
 ( # `  x
) )  =  ( ! `  0 ) )
22 fac0 11291 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2321, 22syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ! `
 ( # `  x
) )  =  1 )
2420oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) )  =  ( ( # `  B
)  _C  0 ) )
2523, 24oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  x ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( # `  B
)  _C  0 ) ) )
2617, 25eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  <->  1  =  ( 1  x.  (
( # `  B )  _C  0 ) ) ) )
2726imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  (
# `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( B  e.  Fin  ->  1  =  ( 1  x.  ( ( # `  B )  _C  0
) ) ) ) )
28 f1eq2 5433 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
f : x -1-1-> B  <->  f : y -1-1-> B ) )
2928abbidv 2397 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  { f  |  f : x
-1-1-> B }  =  {
f  |  f : y -1-1-> B } )
3029fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 { f  |  f : x -1-1-> B } )  =  (
# `  { f  |  f : y
-1-1-> B } ) )
31 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
3231fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  ( # `  x
) )  =  ( ! `  ( # `  y ) ) )
3331oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) )  =  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  y ) ) )
3432, 33oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  ( # `
 x ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  y ) ) ) )
3530, 34eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  <->  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) )
3635imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  x
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) ) )
37 f1eq2 5433 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( f : x -1-1-> B  <->  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
3837abbidv 2397 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  { f  |  f : x -1-1-> B }  =  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }
)
3938fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  {
f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } ) )
40 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )
4140fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ! `  ( # `  x ) )  =  ( ! `
 ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) )
4240oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) )  =  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
4341, 42oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ! `
 ( # `  x
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) )
4439, 43eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  { f  |  f : x -1-1-> B }
)  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  x ) ) )  <-> 
( # `  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
4544imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 x ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) ) ) )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) ) )
46 f1eq2 5433 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> B  <->  f : A -1-1-> B ) )
4746abbidv 2397 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  { f  |  f : x
-1-1-> B }  =  {
f  |  f : A -1-1-> B } )
4847fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 { f  |  f : x -1-1-> B } )  =  (
# `  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
49 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
5049fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( ! `  ( # `  x
) )  =  ( ! `  ( # `  A ) ) )
5149oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) )  =  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  A ) ) )
5250, 51oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ! `  ( # `
 x ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 x ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  A ) )  x.  ( ( # `  B
)  _C  ( # `  A ) ) ) )
5348, 52eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  { f  |  f : x
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  x ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  x
) ) )  <->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) ) )
5453imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : x -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  x
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( B  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) ) ) )
55 hashcl 11350 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
56 bcn0 11323 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 B )  _C  0 )  =  1 )
5755, 56syl 15 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  _C  0 )  =  1 )
5857oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
1  x.  ( (
# `  B )  _C  0 ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
59 1t1e1 9870 . . . 4  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6058, 59syl6req 2332 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  1  =  ( 1  x.  ( ( # `  B
)  _C  0 ) ) )
61 abn0 3473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B }  =/=  (/)  <->  E. f  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B
)
62 f1domg 6881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( y  u.  { z } )  ~<_  B ) )
6362adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( y  u.  { z } )  ~<_  B ) )
64 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
65 hashunsng 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
6664, 65ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
6766adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (
# `  y )  +  1 ) )
6867breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( y  u.  { z } ) )  <_  ( # `
 B )  <->  ( ( # `
 y )  +  1 )  <_  ( # `
 B ) ) )
69 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  y  e.  Fin )
70 snfi 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  e.  Fin
71 unfi 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
7269, 70, 71sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
73 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  B  e.  Fin )
74 hashdom 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( (
# `  ( y  u.  { z } ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( y  u. 
{ z } )  ~<_  B ) )
7572, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( y  u.  { z } ) )  <_  ( # `
 B )  <->  ( y  u.  { z } )  ~<_  B ) )
76 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
7776ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
78 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  y )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN )
7977, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  y )  +  1 )  e.  NN )
8079nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  y )  +  1 )  e.  RR )
8155adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
8281nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 B )  e.  RR )
8380, 82lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  <_  ( # `  B
)  <->  -.  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )
8468, 75, 833bitr3d 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( y  u.  {
z } )  ~<_  B  <->  -.  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )
8563, 84sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  -.  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
8685exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( E. f  f :
( y  u.  {
z } ) -1-1-> B  ->  -.  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )
8761, 86syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( { f  |  f : ( y  u. 
{ z } )
-1-1-> B }  =/=  (/)  ->  -.  ( # `  B )  <  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )
8887necon4ad 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  B )  <  ( ( # `  y )  +  1 )  ->  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }  =  (/) ) )
8988imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }  =  (/) )
9089fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  (
# `  (/) ) )
91 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  u.  { z } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  e. 
NN0 )
9272, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  e.  NN0 )
93 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( y  u.  { z } ) )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  NN )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  e.  NN )
9594nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  e.  CC )
9695adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  e.  CC )
9796mul01d 9011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  0 )  =  0 )
9819, 90, 973eqtr4a 2341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  0 ) )
9967adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
10099oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  B )  _C  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
10181adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
10279adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN )
103102nnzd 10116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  ZZ )
104 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  B
)  <  ( ( # `
 y )  +  1 ) )
105104olcd 382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  <  0  \/  ( # `  B )  <  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
106 bcval4 11320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  B
)  e.  NN0  /\  ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  ZZ  /\  (
( ( # `  y
)  +  1 )  <  0  \/  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) ) )  ->  (
( # `  B )  _C  ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  0 )
107101, 103, 105, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  =  0 )
108100, 107eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  0 )
109108oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  { z } ) ) )  x.  0 ) )
11098, 109eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) )
111110a1d 22 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  ( # `
 B )  < 
( ( # `  y
)  +  1 ) )  ->  ( ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
112 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { f  |  f : y
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } ) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) )
11369adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  y  e.  Fin )
11473adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  B  e.  Fin )
115 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  -.  z  e.  y )
116 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  <_  ( # `
 B ) )
117113, 114, 115, 116hashf1lem2 11394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : y -1-1-> B } ) ) )
11881adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
119 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  B
) )  e.  NN )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  B
) )  e.  NN )
121120nncnd 9762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  B
) )  e.  CC )
12277adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  NN0 )
123 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  y )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN0 )
124122, 123syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  NN0 )
125 nn0sub2 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  NN0  /\  ( # `
 B )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 y )  +  1 )  <_  ( # `
 B ) )  ->  ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) )  e.  NN0 )
126124, 118, 116, 125syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  e.  NN0 )
127 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) )  e.  NN )
128126, 127syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  e.  NN )
129128nncnd 9762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  e.  CC )
130128nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  =/=  0 )
131121, 129, 130divcld 9536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
132 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( # `  y )  +  1 ) )  e.  NN )
133124, 132syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  e.  NN )
134133nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  e.  CC )
135133nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  =/=  0 )
136131, 134, 135divcan2d 9538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ! `  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) ) )
137118nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
138122nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  CC )
139137, 138subcld 9157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  CC )
140 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
141 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )
142139, 140, 141sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) )
143140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  1  e.  CC )
144137, 138, 143subsub4d 9188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 )  =  ( (
# `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )
145144, 126eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 )  e.  NN0 )
146 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  - 
1 )  e.  NN0  ->  ( ( ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 )  +  1 )  e.  NN )
147145, 146syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  - 
1 )  +  1 )  e.  NN )
148142, 147eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  NN )
149148nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  =/=  0 )
150131, 139, 149divcan2d 9538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  x.  (
( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) )  /  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) ) )
151136, 150eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ! `  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
15267adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
153152fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
154 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
155124, 154syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
156118nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
157 elfz5 10790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  /\  ( # `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( (
# `  y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( # `  y
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) ) )
158155, 156, 157syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( # `  y
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) ) )
159116, 158mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
160 bcval2 11318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  y
)  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  ->  (
( # `  B )  _C  ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) ) )
161159, 160syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  / 
( ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) ) )
162152oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  B )  _C  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
163121, 129, 134, 130, 135divdiv1d 9567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  (
( ! `  (
( # `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  (
( # `  y )  +  1 ) ) ) ) )
164161, 162, 1633eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( # `  B ) )  / 
( ! `  (
( # `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )
165153, 164oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( ( # `  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ! `  ( ( # `
 y )  +  1 ) ) ) ) )
166122, 154syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
167 peano2fzr 10808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( # `  y
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
168166, 159, 167syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
169 bcval2 11318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  y )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  (
( ! `  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) )  x.  ( ! `  ( # `
 y ) ) ) ) )
170168, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  y
) )  =  ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) )  x.  ( ! `
 ( # `  y
) ) ) ) )
171 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  y )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( # `  y
)  <_  ( # `  B
) )
172168, 171syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  y
)  <_  ( # `  B
) )
173 nn0sub2 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 y )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  NN0 )
174122, 118, 172, 173syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) )  e.  NN0 )
175 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  e. 
NN0  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  e.  NN )
176174, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  e.  NN )
177176nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  e.  CC )
178 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  y )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  e.  NN )
179122, 178syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  e.  NN )
180179nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  e.  CC )
181176nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =/=  0 )
182179nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( # `  y
) )  =/=  0
)
183121, 177, 180, 181, 182divdiv1d 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) )  /  ( ! `
 ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ( ! `  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) )  x.  ( ! `  ( # `
 y ) ) ) ) )
184170, 183eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 B )  _C  ( # `  y
) )  =  ( ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )  /  ( ! `  ( # `  y
) ) ) )
185184oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( ( ( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) )  /  ( ! `
 ( # `  y
) ) ) ) )
186 facnn2 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 ) )  x.  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
187148, 186syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 ) )  x.  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
188144fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  -  1 ) )  =  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )
189188oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  -  1 ) )  x.  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
190187, 189eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( # `  B )  -  (
( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( (
# `  B )  -  ( # `  y
) ) ) )
191190oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ( ! `  ( (
# `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
192121, 177, 181divcld 9536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) ) ) )  e.  CC )
193192, 180, 182divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )  /  ( ! `  ( # `  y
) ) ) )  =  ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( # `  y ) ) ) ) )
194121, 129, 139, 130, 149divdiv1d 9567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( ! `  ( # `
 B ) )  /  ( ! `  ( ( # `  B
)  -  ( (
# `  y )  +  1 ) ) ) )  /  (
( # `  B )  -  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ( ! `  ( (
# `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) )  x.  ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
195191, 193, 1943eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( ( ! `  ( # `  B ) )  /  ( ! `
 ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )  /  ( ! `  ( # `  y
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( # `  B ) )  / 
( ! `  (
( # `  B )  -  ( ( # `  y )  +  1 ) ) ) )  /  ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) ) ) )
196185, 195eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) )
197196oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  x.  (
( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) ) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) )  x.  ( ( ( ! `
 ( # `  B
) )  /  ( ! `  ( ( # `
 B )  -  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) ) )  / 
( ( # `  B
)  -  ( # `  y ) ) ) ) )
198151, 165, 1973eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( ! `  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  x.  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) )
199117, 198eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  <->  ( (
( # `  B )  -  ( # `  y
) )  x.  ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } ) )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 y ) )  x.  ( ( ! `
 ( # `  y
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  y
) ) ) ) ) )
200112, 199syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  /\  (
( # `  y )  +  1 )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
201111, 200, 82, 80ltlecasei 8928 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  { f  |  f : y
-1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `  y ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  y
) ) )  -> 
( # `  { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ! `  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )  x.  ( (
# `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) )
202201expcom 424 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( y  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  (
y  u.  { z } ) ) ) ) ) ) )
203202a2d 23 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : y -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 y ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 y ) ) ) )  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : ( y  u.  { z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) ) ) ) )
20427, 36, 45, 54, 60, 203findcard2s 7099 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  B )  _C  ( # `
 A ) ) ) ) )
205204imp 418 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  B )  _C  ( # `  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    u. cun 3150   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    Fn wfn 5250   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   !cfa 11288    _C cbc 11315   #chash 11337
This theorem is referenced by:  hashfac  11396  birthdaylem2  20247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338
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