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Theorem hashf1lem2 11697
Description: Lemma for hashf1 11698. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashf1lem2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashf1lem2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
hashf1lem2.3  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashf1lem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
Assertion
Ref Expression
hashf1lem2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
Distinct variable groups:    z, f    A, f    B, f    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    B( z)

Proof of Theorem hashf1lem2
Dummy variables  a  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3359 . 2  |-  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }
2 hashf1lem2.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 hashf1lem2.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4 mapfi 7395 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  A
)  e.  Fin )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  A
)  e.  Fin )
6 f1f 5631 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
7 elmapg 7023 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
82, 3, 7syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
96, 8syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) ) )
109abssdv 3409 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  ( B  ^m  A
) )
11 ssfi 7321 . . . 4  |-  ( ( ( B  ^m  A
)  e.  Fin  /\  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  ( B  ^m  A ) )  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin )
125, 10, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin )
13 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
14 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  (/) ) )
15 noel 3624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
f  |`  A )  e.  (/)
1615pm2.21i 125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  |`  A )  e.  (/)  ->  f  e.  (/) )
1714, 16syl6bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  ->  f  e.  (/) ) )
1817adantrd 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f  e.  (/) ) )
1918abssdv 3409 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } 
C_  (/) )
20 ss0 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  (/) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  (/) )
2221fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  (/) ) )
23 hash0 11638 . . . . . . . 8  |-  ( # `  (/) )  =  0
2422, 23syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  0 )
25 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
2625, 23syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
2726oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) )
2824, 27eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) )
2913, 28imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) ) )
3029imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) ) ) ) )
31 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
32 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  y ) )
3332anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) )
3433abbidv 2549 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )
3534fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
36 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
3736oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )
3835, 37eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) )
3931, 38imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( y  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) ) )
4039imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( y 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) ) ) )
41 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
42 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } ) ) )
4342anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
4443abbidv 2549 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
4544fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
46 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
a } ) ) )
4746oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 x ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 ( y  u. 
{ a } ) ) ) )
4845, 47eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) )
4941, 48imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( (
y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
5049imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
51 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
52 f1eq1 5626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  y  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  y : A -1-1-> B ) )
5352cbvabv 2554 . . . . . . . . . 10  |-  { f  |  f : A -1-1-> B }  =  { y  |  y : A -1-1-> B }
5453eqeq2i 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  x  =  { y  |  y : A -1-1-> B } )
55 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
56 f1ssres 5638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  /\  A  C_  ( A  u.  { z } ) )  -> 
( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
5755, 56mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
58 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
5958resex 5178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  |`  A )  e.  _V
60 f1eq1 5626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( f  |`  A )  ->  (
y : A -1-1-> B  <->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B ) )
6159, 60elab 3074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B }  <->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
6257, 61sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B } )
63 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B }
) )
6462, 63syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A )  e.  x ) )
6564pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B  <->  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
6665bicomd 193 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
6766abbidv 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B } )
6854, 67sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B } )
6968fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } ) )
70 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { f  |  f : A -1-1-> B }
) )
7170oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 x ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
7269, 71eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) )
7351, 72imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( {
f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
7473imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) ) )
75 hashcl 11631 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
762, 75syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
7776nn0cnd 10268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
78 hashcl 11631 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
793, 78syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
8079nn0cnd 10268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  CC )
8177, 80subcld 9403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  e.  CC )
8281mul01d 9257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 )  =  0 )
8382eqcomd 2440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) )
8483a1d 23 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) )
85 ssun1 3502 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
a } )
86 sstr 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { a } )  /\  ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  y  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }
)
8785, 86mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
8887imim1i 56 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) )
89 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  (
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
90 elun 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  e.  {
a } ) )
9159elsnc 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  |`  A )  e.  { a }  <->  ( f  |`  A )  =  a )
9291orbi2i 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  (
f  |`  A )  e. 
{ a } )  <-> 
( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a ) )
9390, 92bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a ) )
9493anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a )  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )
95 andir 839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a )  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
9694, 95bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
9796abbii 2547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  =  {
f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) }
98 unab 3600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }
9997, 98eqtr4i 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  =  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
10099fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (
# `  ( {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
101 snfi 7179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { z }  e.  Fin
102 unfi 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
1033, 101, 102sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
104 mapvalg 7020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B } )
1052, 103, 104syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B } )
106 mapfi 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
Fin )
1072, 103, 106syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
Fin )
108105, 107eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin )
109 f1f 5631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  f : ( A  u.  { z } ) --> B )
110109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
111110ss2abi 3407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
112 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin  /\  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  Fin )
113108, 111, 112sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
114113adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
115109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
116115ss2abi 3407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
117 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin  /\  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  Fin )
118108, 116, 117sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
119118adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
120 inab 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  i^i  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }
121 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  -.  a  e.  y
)
122 abn0 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) }  =/=  (/)  <->  E. f ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) )
123 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  ( f  |`  A )  =  a )
124 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  ( f  |`  A )  e.  y )
125123, 124eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  a  e.  y )
126125exlimiv 1644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. f ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  a  e.  y )
127122, 126sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) }  =/=  (/) 
->  a  e.  y
)
128127necon1bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  a  e.  y  ->  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }  =  (/) )
129121, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }  =  (/) )
130120, 129syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  i^i  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (/) )
131 hashun 11648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  /\ 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  /\  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  i^i  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
132114, 119, 130, 131syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
133100, 132syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
134 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  (
y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
135134unssbd 3517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  { a }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
136 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
137136snss 3918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  { a }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
138135, 137sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B }
)
139 f1eq1 5626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  a  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  a : A -1-1-> B ) )
140136, 139elab 3074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  a : A -1-1-> B
)
141138, 140sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  a : A -1-1-> B )
14280adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  A )  e.  CC )
143118adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
144 hashcl 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  e. 
NN0 )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  e.  NN0 )
146145nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  e.  CC )
147142, 146pncan2d 9405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( ( # `  A )  +  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } ) )  -  ( # `  A ) )  =  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
148 f1f1orn 5677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A -1-1-> B  -> 
a : A -1-1-onto-> ran  a
)
149148adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
a : A -1-1-onto-> ran  a
)
150 f1oen3g 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  _V  /\  a : A -1-1-onto-> ran  a )  ->  A  ~~  ran  a )
151136, 149, 150sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  A  ~~  ran  a )
152 hasheni 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
~~  ran  a  ->  (
# `  A )  =  ( # `  ran  a ) )
153151, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  A )  =  ( # `  ran  a ) )
1543adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  A  e.  Fin )
1552adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  B  e.  Fin )
156 hashf1lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
157156adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  -.  z  e.  A
)
158 hashf1lem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
160 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
a : A -1-1-> B
)
161154, 155, 157, 159, 160hashf1lem1 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  a ) )
162 hasheni 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  a )  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (
# `  ( B  \  ran  a ) ) )
164153, 163oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
165 f1f 5631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A -1-1-> B  -> 
a : A --> B )
166 frn 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A --> B  ->  ran  a  C_  B )
167165, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a : A -1-1-> B  ->  ran  a  C_  B )
168167adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  ran  a  C_  B )
169 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ran  a  C_  B )  ->  ran  a  e.  Fin )
170155, 168, 169syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  ran  a  e.  Fin )
171 diffi 7331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  ran  a )  e.  Fin )
172155, 171syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( B  \  ran  a )  e.  Fin )
173 disjdif 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  a  i^i  ( B 
\  ran  a )
)  =  (/)
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ran  a  i^i  ( B  \  ran  a
) )  =  (/) )
175 hashun 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ran  a  e.  Fin  /\  ( B  \  ran  a )  e.  Fin  /\  ( ran  a  i^i  ( B  \  ran  a ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ran  a  u.  ( B  \  ran  a ) ) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
176170, 172, 174, 175syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  ( ran  a  u.  ( B 
\  ran  a )
) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  (
# `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
177 undif 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  a  C_  B  <->  ( ran  a  u.  ( B  \  ran  a ) )  =  B )
178168, 177sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ran  a  u.  ( B  \  ran  a
) )  =  B )
179178fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  ( ran  a  u.  ( B 
\  ran  a )
) )  =  (
# `  B )
)
180164, 176, 1793eqtr2d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( # `  B
) )
181180oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( ( # `  A )  +  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } ) )  -  ( # `  A ) )  =  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )
182147, 181eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
183141, 182sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
184183oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
185133, 184eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
186 hashunsng 11657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
187136, 186ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
188187ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  ( y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
189188oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
19081adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  e.  CC )
191 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
y  e.  Fin )
192 hashcl 11631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  y )  e.  NN0 )
194193nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  y )  e.  CC )
195 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
1  e.  CC )
197190, 194, 196adddid 9104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  1 ) ) )
198190mulid1d 9097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  1 )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
199198oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 y ) )  +  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
200189, 197, 1993eqtrd 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
201185, 200eqeq12d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  <-> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )
20289, 201syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) )
203202expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
204203a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
20588, 204syl5 30 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
206205expcom 425 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
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( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
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) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
207206a2d 24 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
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a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
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20830, 40, 50, 74, 84, 207findcard2s 7341 . . 3  |-  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
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)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
20912, 208mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) )
2101, 209mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204   ran crn 4871    |` cres 4872   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010    ~~ cen 7098   Fincfn 7101   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    <_ cle 9113    - cmin 9283   NN0cn0 10213   #chash 11610
This theorem is referenced by:  hashf1  11698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611
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