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Theorem hashf1lem2 11410
Description: Lemma for hashf1 11411. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashf1lem2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashf1lem2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
hashf1lem2.3  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashf1lem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
Assertion
Ref Expression
hashf1lem2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
Distinct variable groups:    z, f    A, f    B, f    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    B( z)

Proof of Theorem hashf1lem2
Dummy variables  a  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3210 . 2  |-  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }
2 hashf1lem2.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 hashf1lem2.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4 mapfi 7168 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  A
)  e.  Fin )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  A
)  e.  Fin )
6 f1f 5453 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
7 elmapg 6801 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
82, 3, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
96, 8syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) ) )
109abssdv 3260 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  ( B  ^m  A
) )
11 ssfi 7099 . . . 4  |-  ( ( ( B  ^m  A
)  e.  Fin  /\  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  ( B  ^m  A ) )  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin )
125, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin )
13 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
14 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  (/) ) )
15 noel 3472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
f  |`  A )  e.  (/)
1615pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  |`  A )  e.  (/)  ->  f  e.  (/) )
1714, 16syl6bi 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  ->  f  e.  (/) ) )
1817adantrd 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f  e.  (/) ) )
1918abssdv 3260 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } 
C_  (/) )
20 ss0 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  (/) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  (/) )
2221fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  (/) ) )
23 hash0 11371 . . . . . . . 8  |-  ( # `  (/) )  =  0
2422, 23syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  0 )
25 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
2625, 23syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
2726oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) )
2824, 27eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) )
2913, 28imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) ) )
3029imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) ) ) ) )
31 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
32 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  y ) )
3332anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) )
3433abbidv 2410 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )
3534fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
36 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
3736oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )
3835, 37eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) )
3931, 38imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( y  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) ) )
4039imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( y 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) ) ) )
41 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
42 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } ) ) )
4342anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
4443abbidv 2410 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
4544fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
46 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
a } ) ) )
4746oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 x ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 ( y  u. 
{ a } ) ) ) )
4845, 47eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) )
4941, 48imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( (
y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
5049imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
51 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
52 f1eq1 5448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  y  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  y : A -1-1-> B ) )
5352cbvabv 2415 . . . . . . . . . 10  |-  { f  |  f : A -1-1-> B }  =  { y  |  y : A -1-1-> B }
5453eqeq2i 2306 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  x  =  { y  |  y : A -1-1-> B } )
55 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
56 f1ssres 5460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  /\  A  C_  ( A  u.  { z } ) )  -> 
( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
5755, 56mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
58 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
5958resex 5011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  |`  A )  e.  _V
60 f1eq1 5448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( f  |`  A )  ->  (
y : A -1-1-> B  <->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B ) )
6159, 60elab 2927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B }  <->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
6257, 61sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B } )
63 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B }
) )
6462, 63syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A )  e.  x ) )
6564pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B  <->  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
6665bicomd 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
6766abbidv 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B } )
6854, 67sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B } )
6968fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } ) )
70 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { f  |  f : A -1-1-> B }
) )
7170oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 x ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
7269, 71eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) )
7351, 72imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( {
f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
7473imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) ) )
75 hashcl 11366 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
762, 75syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
7776nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
78 hashcl 11366 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
793, 78syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
8079nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  CC )
8177, 80subcld 9173 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  e.  CC )
8281mul01d 9027 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 )  =  0 )
8382eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) )
8483a1d 22 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) )
85 ssun1 3351 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
a } )
86 sstr 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { a } )  /\  ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  y  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }
)
8785, 86mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
8887imim1i 54 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) )
89 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  (
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
90 elun 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  e.  {
a } ) )
9159elsnc 3676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  |`  A )  e.  { a }  <->  ( f  |`  A )  =  a )
9291orbi2i 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  (
f  |`  A )  e. 
{ a } )  <-> 
( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a ) )
9390, 92bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a ) )
9493anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a )  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )
95 andir 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a )  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
9694, 95bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
9796abbii 2408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  =  {
f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) }
98 unab 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }
9997, 98eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  =  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
10099fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (
# `  ( {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
101 snfi 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { z }  e.  Fin
102 unfi 7140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
1033, 101, 102sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
104 mapvalg 6798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B } )
1052, 103, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B } )
106 mapfi 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
Fin )
1072, 103, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
Fin )
108105, 107eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin )
109 f1f 5453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  f : ( A  u.  { z } ) --> B )
110109adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
111110ss2abi 3258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
112 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin  /\  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  Fin )
113108, 111, 112sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
114113adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
115109adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
116115ss2abi 3258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
117 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin  /\  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  Fin )
118108, 116, 117sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
119118adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
120 inab 3449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  i^i  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }
121 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  -.  a  e.  y
)
122 abn0 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) }  =/=  (/)  <->  E. f ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) )
123 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  ( f  |`  A )  =  a )
124 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  ( f  |`  A )  e.  y )
125123, 124eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  a  e.  y )
126125exlimiv 1624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. f ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  a  e.  y )
127122, 126sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) }  =/=  (/) 
->  a  e.  y
)
128127necon1bi 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  a  e.  y  ->  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }  =  (/) )
129121, 128syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }  =  (/) )
130120, 129syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  i^i  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (/) )
131 hashun 11380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  /\ 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  /\  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  i^i  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
132114, 119, 130, 131syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
133100, 132syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
134 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { a }  C_  ( y  u.  { a } )
135 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  (
y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
136134, 135syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  { a }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
137 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
138137snss 3761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  { a }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
139136, 138sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B }
)
140 f1eq1 5448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  a  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  a : A -1-1-> B ) )
141137, 140elab 2927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  a : A -1-1-> B
)
142139, 141sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  a : A -1-1-> B )
14380adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  A )  e.  CC )
144118adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
145 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  e. 
NN0 )
146144, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  e.  NN0 )
147146nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  e.  CC )
148143, 147pncan2d 9175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( ( # `  A )  +  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } ) )  -  ( # `  A ) )  =  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
149 f1f1orn 5499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A -1-1-> B  -> 
a : A -1-1-onto-> ran  a
)
150149adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
a : A -1-1-onto-> ran  a
)
151 f1oen3g 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  _V  /\  a : A -1-1-onto-> ran  a )  ->  A  ~~  ran  a )
152137, 150, 151sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  A  ~~  ran  a )
153 hasheni 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
~~  ran  a  ->  (
# `  A )  =  ( # `  ran  a ) )
154152, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  A )  =  ( # `  ran  a ) )
1553adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  A  e.  Fin )
1562adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  B  e.  Fin )
157 hashf1lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
158157adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  -.  z  e.  A
)
159 hashf1lem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
160159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
161 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
a : A -1-1-> B
)
162155, 156, 158, 160, 161hashf1lem1 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  a ) )
163 hasheni 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  a )  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) )
164162, 163syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (
# `  ( B  \  ran  a ) ) )
165154, 164oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
166 f1f 5453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A -1-1-> B  -> 
a : A --> B )
167 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A --> B  ->  ran  a  C_  B )
168166, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a : A -1-1-> B  ->  ran  a  C_  B )
169168adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  ran  a  C_  B )
170 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ran  a  C_  B )  ->  ran  a  e.  Fin )
171156, 169, 170syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  ran  a  e.  Fin )
172 diffi 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  ran  a )  e.  Fin )
173156, 172syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( B  \  ran  a )  e.  Fin )
174 disjdif 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  a  i^i  ( B 
\  ran  a )
)  =  (/)
175174a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ran  a  i^i  ( B  \  ran  a
) )  =  (/) )
176 hashun 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ran  a  e.  Fin  /\  ( B  \  ran  a )  e.  Fin  /\  ( ran  a  i^i  ( B  \  ran  a ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ran  a  u.  ( B  \  ran  a ) ) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
177171, 173, 175, 176syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  ( ran  a  u.  ( B 
\  ran  a )
) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  (
# `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
178 undif 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  a  C_  B  <->  ( ran  a  u.  ( B  \  ran  a ) )  =  B )
179169, 178sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ran  a  u.  ( B  \  ran  a
) )  =  B )
180179fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  ( ran  a  u.  ( B 
\  ran  a )
) )  =  (
# `  B )
)
181165, 177, 1803eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( # `  B
) )
182181oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( ( # `  A )  +  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } ) )  -  ( # `  A ) )  =  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )
183148, 182eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
184142, 183sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
185184oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
186133, 185eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
187 hashunsng 11383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
188137, 187ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
189188ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  ( y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
190189oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
19181adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  e.  CC )
192 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
y  e.  Fin )
193 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
194192, 193syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  y )  e.  NN0 )
195194nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  y )  e.  CC )
196 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
197196a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
1  e.  CC )
198191, 195, 197adddid 8875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  1 ) ) )
199191mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  1 )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
200199oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 y ) )  +  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
201190, 198, 2003eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
202186, 201eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  <-> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )
20389, 202syl5ibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) )
204203expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
205204a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
20688, 205syl5 28 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
207206expcom 424 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
208207a2d 23 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
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a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
20930, 40, 50, 74, 84, 208findcard2s 7115 . . 3  |-  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
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z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
21012, 209mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) )
2111, 210mpi 16 1  |-  ( ph  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   NN0cn0 9981   #chash 11353
This theorem is referenced by:  hashf1  11411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
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