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Theorem hashf1lem2 11394
Description: Lemma for hashf1 11395. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashf1lem2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashf1lem2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
hashf1lem2.3  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashf1lem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
Assertion
Ref Expression
hashf1lem2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
Distinct variable groups:    z, f    A, f    B, f    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    B( z)

Proof of Theorem hashf1lem2
Dummy variables  a  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3197 . 2  |-  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }
2 hashf1lem2.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 hashf1lem2.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4 mapfi 7152 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  A
)  e.  Fin )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  A
)  e.  Fin )
6 f1f 5437 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
7 elmapg 6785 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
82, 3, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
96, 8syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) ) )
109abssdv 3247 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  ( B  ^m  A
) )
11 ssfi 7083 . . . 4  |-  ( ( ( B  ^m  A
)  e.  Fin  /\  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  ( B  ^m  A ) )  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin )
125, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin )
13 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
14 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  (/) ) )
15 noel 3459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
f  |`  A )  e.  (/)
1615pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  |`  A )  e.  (/)  ->  f  e.  (/) )
1714, 16syl6bi 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  ->  f  e.  (/) ) )
1817adantrd 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f  e.  (/) ) )
1918abssdv 3247 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } 
C_  (/) )
20 ss0 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  (/) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  (/) )
2221fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  (/) ) )
23 hash0 11355 . . . . . . . 8  |-  ( # `  (/) )  =  0
2422, 23syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  0 )
25 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
2625, 23syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
2726oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) )
2824, 27eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) )
2913, 28imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) ) )
3029imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) ) ) ) )
31 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
32 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  y ) )
3332anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) )
3433abbidv 2397 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )
3534fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
36 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
3736oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )
3835, 37eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) )
3931, 38imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( y  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) ) )
4039imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( y 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) ) ) )
41 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
42 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } ) ) )
4342anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
4443abbidv 2397 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
4544fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
46 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
a } ) ) )
4746oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 x ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 ( y  u. 
{ a } ) ) ) )
4845, 47eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) )
4941, 48imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( (
y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
5049imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
51 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
52 f1eq1 5432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  y  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  y : A -1-1-> B ) )
5352cbvabv 2402 . . . . . . . . . 10  |-  { f  |  f : A -1-1-> B }  =  { y  |  y : A -1-1-> B }
5453eqeq2i 2293 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  x  =  { y  |  y : A -1-1-> B } )
55 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
56 f1ssres 5444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  /\  A  C_  ( A  u.  { z } ) )  -> 
( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
5755, 56mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
58 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
5958resex 4995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  |`  A )  e.  _V
60 f1eq1 5432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( f  |`  A )  ->  (
y : A -1-1-> B  <->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B ) )
6159, 60elab 2914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B }  <->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
6257, 61sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B } )
63 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B }
) )
6462, 63syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A )  e.  x ) )
6564pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B  <->  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
6665bicomd 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
6766abbidv 2397 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B } )
6854, 67sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B } )
6968fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } ) )
70 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { f  |  f : A -1-1-> B }
) )
7170oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 x ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
7269, 71eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) )
7351, 72imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( {
f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
7473imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) ) )
75 hashcl 11350 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
762, 75syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
7776nn0cnd 10020 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
78 hashcl 11350 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
793, 78syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
8079nn0cnd 10020 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  CC )
8177, 80subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  e.  CC )
8281mul01d 9011 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 )  =  0 )
8382eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) )
8483a1d 22 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) )
85 ssun1 3338 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
a } )
86 sstr 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { a } )  /\  ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  y  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }
)
8785, 86mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
8887imim1i 54 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) )
89 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  (
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
90 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  e.  {
a } ) )
9159elsnc 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  |`  A )  e.  { a }  <->  ( f  |`  A )  =  a )
9291orbi2i 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  (
f  |`  A )  e. 
{ a } )  <-> 
( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a ) )
9390, 92bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a ) )
9493anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a )  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )
95 andir 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a )  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
9694, 95bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
9796abbii 2395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  =  {
f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) }
98 unab 3435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }
9997, 98eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  =  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
10099fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (
# `  ( {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
101 snfi 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { z }  e.  Fin
102 unfi 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
1033, 101, 102sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
104 mapvalg 6782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B } )
1052, 103, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B } )
106 mapfi 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
Fin )
1072, 103, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
Fin )
108105, 107eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin )
109 f1f 5437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  f : ( A  u.  { z } ) --> B )
110109adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
111110ss2abi 3245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
112 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin  /\  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  Fin )
113108, 111, 112sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
114113adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
115109adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
116115ss2abi 3245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
117 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin  /\  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  Fin )
118108, 116, 117sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
119118adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
120 inab 3436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  i^i  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }
121 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  -.  a  e.  y
)
122 abn0 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) }  =/=  (/)  <->  E. f ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) )
123 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  ( f  |`  A )  =  a )
124 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  ( f  |`  A )  e.  y )
125123, 124eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  a  e.  y )
126125exlimiv 1666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. f ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  a  e.  y )
127122, 126sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) }  =/=  (/) 
->  a  e.  y
)
128127necon1bi 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  a  e.  y  ->  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }  =  (/) )
129121, 128syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }  =  (/) )
130120, 129syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  i^i  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (/) )
131 hashun 11364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  /\ 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  /\  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  i^i  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
132114, 119, 130, 131syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
133100, 132syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
134 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { a }  C_  ( y  u.  { a } )
135 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  (
y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
136134, 135syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  { a }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
137 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
138137snss 3748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  { a }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
139136, 138sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B }
)
140 f1eq1 5432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  a  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  a : A -1-1-> B ) )
141137, 140elab 2914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  a : A -1-1-> B
)
142139, 141sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  a : A -1-1-> B )
14380adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  A )  e.  CC )
144118adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
145 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  e. 
NN0 )
146144, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  e.  NN0 )
147146nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  e.  CC )
148143, 147pncan2d 9159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( ( # `  A )  +  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } ) )  -  ( # `  A ) )  =  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
149 f1f1orn 5483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A -1-1-> B  -> 
a : A -1-1-onto-> ran  a
)
150149adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
a : A -1-1-onto-> ran  a
)
151 f1oen3g 6877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  _V  /\  a : A -1-1-onto-> ran  a )  ->  A  ~~  ran  a )
152137, 150, 151sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  A  ~~  ran  a )
153 hasheni 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
~~  ran  a  ->  (
# `  A )  =  ( # `  ran  a ) )
154152, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  A )  =  ( # `  ran  a ) )
1553adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  A  e.  Fin )
1562adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  B  e.  Fin )
157 hashf1lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
158157adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  -.  z  e.  A
)
159 hashf1lem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
160159adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
161 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
a : A -1-1-> B
)
162155, 156, 158, 160, 161hashf1lem1 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  a ) )
163 hasheni 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  a )  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) )
164162, 163syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (
# `  ( B  \  ran  a ) ) )
165154, 164oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
166 f1f 5437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A -1-1-> B  -> 
a : A --> B )
167 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A --> B  ->  ran  a  C_  B )
168166, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a : A -1-1-> B  ->  ran  a  C_  B )
169168adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  ran  a  C_  B )
170 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ran  a  C_  B )  ->  ran  a  e.  Fin )
171156, 169, 170syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  ran  a  e.  Fin )
172 diffi 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  ran  a )  e.  Fin )
173156, 172syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( B  \  ran  a )  e.  Fin )
174 disjdif 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  a  i^i  ( B 
\  ran  a )
)  =  (/)
175174a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ran  a  i^i  ( B  \  ran  a
) )  =  (/) )
176 hashun 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ran  a  e.  Fin  /\  ( B  \  ran  a )  e.  Fin  /\  ( ran  a  i^i  ( B  \  ran  a ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ran  a  u.  ( B  \  ran  a ) ) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
177171, 173, 175, 176syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  ( ran  a  u.  ( B 
\  ran  a )
) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  (
# `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
178 undif 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  a  C_  B  <->  ( ran  a  u.  ( B  \  ran  a ) )  =  B )
179169, 178sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ran  a  u.  ( B  \  ran  a
) )  =  B )
180179fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  ( ran  a  u.  ( B 
\  ran  a )
) )  =  (
# `  B )
)
181165, 177, 1803eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( # `  B
) )
182181oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( ( # `  A )  +  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } ) )  -  ( # `  A ) )  =  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )
183148, 182eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
184142, 183sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
185184oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
186133, 185eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
187 hashunsng 11367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
188137, 187ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
189188ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  ( y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
190189oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
19181adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  e.  CC )
192 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
y  e.  Fin )
193 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
194192, 193syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  y )  e.  NN0 )
195194nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  y )  e.  CC )
196 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
197196a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
1  e.  CC )
198191, 195, 197adddid 8859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  1 ) ) )
199191mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  1 )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
200199oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 y ) )  +  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
201190, 198, 2003eqtrd 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
202186, 201eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  <-> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )
20389, 202syl5ibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) )
204203expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
205204a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
20688, 205syl5 28 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
207206expcom 424 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
208207a2d 23 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
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a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
20930, 40, 50, 74, 84, 208findcard2s 7099 . . 3  |-  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
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z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
21012, 209mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) )
2111, 210mpi 16 1  |-  ( ph  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   NN0cn0 9965   #chash 11337
This theorem is referenced by:  hashf1  11395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
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