MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfn Unicode version

Theorem hashfn 11373
Description: A function is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfn  |-  ( F  Fn  A  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  A
) )

Proof of Theorem hashfn
StepHypRef Expression
1 fndmeng 6953 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  _V )  ->  A  ~~  F )
2 ensym 6926 . . 3  |-  ( A 
~~  F  ->  F  ~~  A )
3 hasheni 11363 . . 3  |-  ( F 
~~  A  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  A
) )
41, 2, 33syl 18 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  _V )  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  A ) )
5 dmexg 4955 . . . . . 6  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
6 fndm 5359 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
76eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( dom  F  e.  _V  <->  A  e.  _V ) )
85, 7syl5ib 210 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  e.  _V  ->  A  e.  _V ) )
98con3and 428 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  F  e.  _V )
10 fvprc 5535 . . . 4  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  (
# `  F )  =  (/) )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( # `  F
)  =  (/) )
12 fvprc 5535 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
# `  A )  =  (/) )
1312adantl 452 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( # `  A
)  =  (/) )
1411, 13eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  A ) )
154, 14pm2.61dan 766 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   ` cfv 5271    ~~ cen 6876   #chash 11353
This theorem is referenced by:  fseq1hash  11374  hashfun  11405  wrdf  11435  ccatlen  11446  swrd0len  11471  swrdlen  11472  revlen  11496  lenco  11503  redwlklem  28363  eupatrl  28385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-hash 11354
  Copyright terms: Public domain W3C validator