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Theorem hashfun 11436
Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfun  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )

Proof of Theorem hashfun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfn 5320 . . 3  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
2 hashfn 11404 . . 3  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )
31, 2sylbi 187 . 2  |-  ( Fun 
F  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) )
4 dmfi 7184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
5 hashcl 11397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  NN0 )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  NN0 )
76nn0red 10066 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  RR )
87adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  dom  F
)  e.  RR )
9 df-rel 4733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Rel 
F  <->  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
10 dfss3 3204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
119, 10bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
F  <->  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
1211notbii 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
Rel  F  <->  -.  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
13 rexnal 2588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V )  <->  -.  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
1412, 13bitr4i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
Rel  F  <->  E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
15 dmun 4922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } )  =  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )
1615fveq2i 5566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  dom  ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  ( dom  ( F  \  {
x } )  u. 
dom  { x } ) )
17 dmsnn0 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( _V  X.  _V )  <->  dom  { x }  =/=  (/) )
1817biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dom 
{ x }  =/=  (/) 
->  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
1918necon1bi 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  x  e.  ( _V 
X.  _V )  ->  dom  { x }  =  (/) )
20193ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  dom  { x }  =  (/) )
2120uneq2d 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )  =  ( dom  ( F 
\  { x }
)  u.  (/) ) )
22 un0 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( F  \  {
x } )  u.  (/) )  =  dom  ( F  \  { x } )
2321, 22syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )  =  dom  ( F  \  { x } ) )
2423fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  ( dom  ( F  \  {
x } )  u. 
dom  { x } ) )  =  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) ) )
2516, 24syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  (
# `  dom  ( F 
\  { x }
) ) )
26 diffi 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( F  \  { x }
)  e.  Fin )
27 dmfi 7184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin )
29 hashcl 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom  ( F  \  {
x } )  e. 
Fin  ->  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  e. 
NN0 )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  e.  NN0 )
3130nn0red 10066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  e.  RR )
32 hashcl 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( F  \  { x }
) )  e.  NN0 )
3326, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  e.  NN0 )
3433nn0red 10066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  e.  RR )
35 peano2re 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  e.  RR  ->  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  1 )  e.  RR )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 )  e.  RR )
37 fidomdm 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F  \  {
x } ) )
3826, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F 
\  { x }
) )
39 hashdom 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin  /\  ( F  \  { x }
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  <_ 
( # `  ( F 
\  { x }
) )  <->  dom  ( F 
\  { x }
)  ~<_  ( F  \  { x } ) ) )
4028, 26, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { x }
) )  <_  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  <->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F  \  {
x } ) ) )
4138, 40mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { x }
) ) )
4234ltp1d 9732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  <  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 ) )
4331, 34, 36, 41, 42lelttrd 9019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  <  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 ) )
44433ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  < 
( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  1 ) )
4525, 44eqbrtrd 4080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  <  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 ) )
46 snfi 6984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x }  e.  Fin
47 incom 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  i^i  {
x } )  =  ( { x }  i^i  ( F  \  {
x } ) )
48 disjdif 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { x }  i^i  ( F  \  { x }
) )  =  (/)
4947, 48eqtri 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { x } )  i^i  {
x } )  =  (/)
50 hashun 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  \  {
x } )  e. 
Fin  /\  { x }  e.  Fin  /\  (
( F  \  {
x } )  i^i 
{ x } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  (
# `  { x } ) ) )
5146, 49, 50mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  ( # `  { x } ) ) )
5226, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  (
# `  { x } ) ) )
53 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
54 hashsng 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  ( # `
 { x }
)  =  1 )
5553, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { x } )  =  1
5655oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  ( # `  { x } ) )  =  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 )
5752, 56syl6req 2365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 )  =  ( # `  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) ) )
58573ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( ( # `  ( F  \  {
x } ) )  +  1 )  =  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) ) )
5945, 58breqtrd 4084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  <  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) ) )
60 difsnid 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  F  ->  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } )  =  F )
6160dmeqd 4918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  F  ->  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
)  =  dom  F
)
6261fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  F  ->  ( # `
 dom  ( ( F  \  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  dom  F ) )
63623ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  (
# `  dom  F ) )
6460fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  F  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  F
) )
65643ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( # `  F ) )
6659, 63, 653brtr3d 4089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( # `  F ) )
6766rexlimdv3a 2703 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V )  -> 
( # `  dom  F
)  <  ( # `  F
) ) )
6814, 67syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  Rel  F  ->  ( # `
 dom  F )  <  ( # `  F
) ) )
6968imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  dom  F
)  <  ( # `  F
) )
708, 69gtned 8999 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  F )  =/=  ( # `  dom  F ) )
7170ex 423 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  Rel  F  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
7271necon4bd 2541 . . . . 5  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  Rel  F ) )
7372imp 418 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  Rel  F )
74 2nalexn 1564 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y  -.  A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
75 df-ne 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  z  <->  -.  y  =  z )
7675anbi2i 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  -.  y  =  z ) )
77 annim 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  -.  y  =  z )  <->  -.  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
7876, 77bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  -.  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
7978exbii 1573 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  E. z  -.  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
80 exnal 1565 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  -.  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  -.  A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
8179, 80bitr2i 241 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )
82812exbii 1574 . . . . . . . 8  |-  ( E. x E. y  -. 
A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y E. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z ) )
8374, 82bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y E. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z ) )
847adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  e.  RR )
85 2re 9860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
86 diffi 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
87 dmfi 7184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
8886, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
89 hashcl 11397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  e.  Fin  ->  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
9190nn0red 10066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
9291adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
93 readdcl 8865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
9485, 92, 93sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
95 hashcl 11397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e. 
NN0 )
9695nn0red 10066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e.  RR )
9796adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
98 1re 8882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
99 readdcl 8865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
10098, 91, 99sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
101100adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
10285, 91, 93sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
104 dmun 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  ( dom 
{ <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )
105 opex 4274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
106 opex 4274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  <. x ,  z >.  e.  _V
107105, 106prss 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  <->  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  C_  F
)
108 undif 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  C_  F  <->  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  F )
109107, 108bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  <->  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  F )
110109biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  F )
111110dmeqd 4918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  dom  F
)
112104, 111syl5reqr 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  F  =  ( dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) )
113 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
114 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
115113, 114dmprop 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  =  { x ,  x }
116 dfsn2 3688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { x }  =  { x ,  x }
117115, 116eqtr4i 2339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  =  { x }
118117uneq1i 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
{ <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )
119112, 118syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  F  =  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
120119fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( # `  dom  F )  =  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
121120ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  =  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
122 hashun2 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { x }  e.  Fin  /\  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
( # `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
12346, 88, 122sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { x }  u.  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
( # `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
12455oveq1i 5910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
125123, 124syl6breq 4099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { x }  u.  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
126125adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) )  <_  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
127121, 126eqbrtrd 4080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <_  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
128 1lt2 9933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
129 ltadd1 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  2  <->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
13098, 85, 129mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  ->  ( 1  <  2  <->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
13191, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  <  2  <->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
132128, 131mpbii 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
133132adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
13484, 101, 103, 127, 133lelttrd 9019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
135 fidomdm 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) )
13686, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) )
137 hashdom 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  e. 
Fin  /\  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
13888, 86, 137syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
139136, 138mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
140 hashcl 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
14186, 140syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
142141nn0red 10066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
143 leadd2 9288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  ( # `  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
14485, 143mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  ( # `  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
14591, 142, 144syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
146139, 145mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
147146adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
148 prfi 7176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  e.  Fin
149 disjdif 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  i^i  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  (/)
150 hashun 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  e.  Fin  /\  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  e.  Fin  /\  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  i^i  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
151148, 149, 150mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
15286, 151syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
153152adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
154110fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
155154ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
15653, 113opth 4282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. x ,  z
>. 
<->  ( x  =  x  /\  y  =  z ) )
157156simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. x ,  z
>.  ->  y  =  z )
158157necon3i 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =/=  z  ->  <. x ,  y >.  =/=  <. x ,  z >. )
159 hashprg 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _V  /\  <. x ,  z >.  e.  _V )  ->  ( <. x ,  y >.  =/=  <. x ,  z >.  <->  ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  =  2 ) )
160105, 106, 159mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  <. x ,  z
>. 
<->  ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  =  2 )
161158, 160sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =/=  z  ->  ( # `
 { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  =  2 )
162161oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =/=  z  ->  (
( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
163162ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( ( # `  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
164153, 155, 1633eqtr3rd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
165147, 164breqtrd 4084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  ( # `
 F ) )
16684, 94, 97, 134, 165ltletrd 9021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( # `  F ) )
16784, 166gtned 8999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  F
)  =/=  ( # `  dom  F ) )
168167ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z )  -> 
( # `  F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
169168exlimdv 1627 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
170169exlimdvv 1628 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. x E. y E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
17183, 170syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
172171necon4bd 2541 . . . . 5  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
173172imp 418 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
174 dffun4 5304 . . . 4  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
17573, 173, 174sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  Fun  F )
176175ex 423 . 2  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  Fun  F ) )
1773, 176impbid2 195 1  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1531   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    u. cun 3184    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   {csn 3674   {cpr 3675   <.cop 3677   class class class wbr 4060    X. cxp 4724   dom cdm 4726   Rel wrel 4731   Fun wfun 5286    Fn wfn 5287   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ~<_ cdom 6904   Fincfn 6906   RRcr 8781   1c1 8783    + caddc 8785    < clt 8912    <_ cle 8913   2c2 9840   NN0cn0 10012   #chash 11384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-hash 11385
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