MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfzo Structured version   Unicode version

Theorem hashfzo 11696
Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfzo  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
) )

Proof of Theorem hashfzo
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10495 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  ZZ )
21zcnd 10378 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  CC )
32subidd 9401 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  -  A )  =  0 )
4 fzo0 11161 . . . . . 6  |-  ( A..^ A )  =  (/)
54fveq2i 5733 . . . . 5  |-  ( # `  ( A..^ A ) )  =  ( # `  (/) )
6 hash0 11648 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
75, 6eqtri 2458 . . . 4  |-  ( # `  ( A..^ A ) )  =  0
83, 7syl6reqr 2489 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ A ) )  =  ( A  -  A
) )
9 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  ( A..^ B )  =  ( A..^ A ) )
109fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( # `
 ( A..^ B
) )  =  (
# `  ( A..^ A ) ) )
11 oveq1 6090 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( B  -  A )  =  ( A  -  A ) )
1210, 11eqeq12d 2452 . . 3  |-  ( B  =  A  ->  (
( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
)  <->  ( # `  ( A..^ A ) )  =  ( A  -  A
) ) )
138, 12syl5ibrcom 215 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  =  A  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A ) ) )
14 eluzelz 10498 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ZZ )
15 fzoval 11143 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
1716fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( # `  ( A ... ( B  - 
1 ) ) ) )
1817adantr 453 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )  ->  ( # `
 ( A..^ B
) )  =  (
# `  ( A ... ( B  -  1 ) ) ) )
19 hashfz 11694 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A ... ( B  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( B  -  1 )  -  A )  +  1 ) )
2014zcnd 10378 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  CC )
21 ax-1cn 9050 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  1  e.  CC )
2320, 22, 2sub32d 9445 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( B  -  1 )  -  A )  =  ( ( B  -  A )  -  1 ) )
2423oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( B  -  1 )  -  A )  +  1 )  =  ( ( ( B  -  A )  - 
1 )  +  1 ) )
2520, 2subcld 9413 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  -  A )  e.  CC )
26 npcan 9316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( B  -  A )  - 
1 )  +  1 )  =  ( B  -  A ) )
2725, 21, 26sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( B  -  A
)  -  1 )  +  1 )  =  ( B  -  A
) )
2824, 27eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( B  -  1 )  -  A )  +  1 )  =  ( B  -  A
) )
2919, 28sylan9eqr 2492 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )  ->  ( # `
 ( A ... ( B  -  1
) ) )  =  ( B  -  A
) )
3018, 29eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )  ->  ( # `
 ( A..^ B
) )  =  ( B  -  A ) )
3130ex 425 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
) ) )
32 uzm1 10518 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  =  A  \/  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
3313, 31, 32mpjaod 372 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    - cmin 9293   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045  ..^cfzo 11137   #chash 11620
This theorem is referenced by:  hashfzo0  11697  pntlemr  21298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621
  Copyright terms: Public domain W3C validator