MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfzo Unicode version

Theorem hashfzo 11383
Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfzo  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
) )

Proof of Theorem hashfzo
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10235 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  ZZ )
21zcnd 10118 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  CC )
32subidd 9145 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  -  A )  =  0 )
4 fzo0 10893 . . . . . 6  |-  ( A..^ A )  =  (/)
54fveq2i 5528 . . . . 5  |-  ( # `  ( A..^ A ) )  =  ( # `  (/) )
6 hash0 11355 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
75, 6eqtri 2303 . . . 4  |-  ( # `  ( A..^ A ) )  =  0
83, 7syl6reqr 2334 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ A ) )  =  ( A  -  A
) )
9 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  ( A..^ B )  =  ( A..^ A ) )
109fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( # `
 ( A..^ B
) )  =  (
# `  ( A..^ A ) ) )
11 oveq1 5865 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( B  -  A )  =  ( A  -  A ) )
1210, 11eqeq12d 2297 . . 3  |-  ( B  =  A  ->  (
( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
)  <->  ( # `  ( A..^ A ) )  =  ( A  -  A
) ) )
138, 12syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  =  A  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A ) ) )
14 eluzelz 10238 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ZZ )
15 fzoval 10876 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
1614, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
1716fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( # `  ( A ... ( B  - 
1 ) ) ) )
1817adantr 451 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )  ->  ( # `
 ( A..^ B
) )  =  (
# `  ( A ... ( B  -  1 ) ) ) )
19 hashfz 11381 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A ... ( B  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( B  -  1 )  -  A )  +  1 ) )
2014zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  CC )
21 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
2221a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  1  e.  CC )
2320, 22, 2sub32d 9189 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( B  -  1 )  -  A )  =  ( ( B  -  A )  -  1 ) )
2423oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( B  -  1 )  -  A )  +  1 )  =  ( ( ( B  -  A )  - 
1 )  +  1 ) )
2520, 2subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  -  A )  e.  CC )
26 npcan 9060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( B  -  A )  - 
1 )  +  1 )  =  ( B  -  A ) )
2725, 21, 26sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( B  -  A
)  -  1 )  +  1 )  =  ( B  -  A
) )
2824, 27eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( B  -  1 )  -  A )  +  1 )  =  ( B  -  A
) )
2919, 28sylan9eqr 2337 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )  ->  ( # `
 ( A ... ( B  -  1
) ) )  =  ( B  -  A
) )
3018, 29eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )  ->  ( # `
 ( A..^ B
) )  =  ( B  -  A ) )
3130ex 423 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
) ) )
32 uzm1 10258 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  =  A  \/  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
3313, 31, 32mpjaod 370 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   #chash 11337
This theorem is referenced by:  hashfzo0  11384  pntlemr  20751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator