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Theorem hashgcdlem 27516
Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgcdlem.a  |-  A  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 }
hashgcdlem.b  |-  B  =  { z  e.  ( 0..^ M )  |  ( z  gcd  M
)  =  N }
hashgcdlem.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( x  x.  N
) )
Assertion
Ref Expression
hashgcdlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, z, M    x, A    x, B    x, N, y    z, N
Allowed substitution hints:    A( y, z)    B( y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem hashgcdlem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgcdlem.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( x  x.  N
) )
2 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y  gcd  ( M  /  N ) )  =  ( x  gcd  ( M  /  N ) ) )
32eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1  <->  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 ) )
4 hashgcdlem.a . . . 4  |-  A  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 }
53, 4elrab2 2925 . . 3  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 ) )
6 elfzofz 10889 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  ( 0 ... ( M  /  N ) ) )
7 elfznn0 10822 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 ... ( M  /  N
) )  ->  x  e.  NN0 )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  NN0 )
98ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  NN0 )
10 nnnn0 9972 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
11103ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  NN0 )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  N  e.  NN0 )
139, 12nn0mulcld 10023 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  NN0 )
14 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  e.  NN )
15 elfzolt2 10883 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  <  ( M  /  N ) )
1615ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  <  ( M  /  N ) )
17 elfzoelz 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
1817ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
1918zred 10117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  RR )
20 nnre 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
21203ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  M  e.  RR )
2221adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  e.  RR )
23 nnre 9753 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
24 nngt0 9775 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
2523, 24jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
26253ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
2726adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
28 ltmuldiv 9626 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( x  x.  N )  <  M  <->  x  <  ( M  /  N ) ) )
2919, 22, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  < 
M  <->  x  <  ( M  /  N ) ) )
3016, 29mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  <  M
)
31 elfzo0 10904 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  N )  e.  ( 0..^ M )  <->  ( ( x  x.  N )  e. 
NN0  /\  M  e.  NN  /\  ( x  x.  N )  <  M
) )
3213, 14, 30, 31syl3anbrc 1136 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  ( 0..^ M ) )
33 nncn 9754 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
34333ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  M  e.  CC )
35 nncn 9754 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
36353ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  CC )
37 nnne0 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
38373ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  =/=  0 )
3934, 36, 38divcan1d 9537 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  (
( M  /  N
)  x.  N )  =  M )
4039adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( M  /  N )  x.  N )  =  M )
4140eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  =  ( ( M  /  N
)  x.  N ) )
4241oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd 
M )  =  ( ( x  x.  N
)  gcd  ( ( M  /  N )  x.  N ) ) )
43 nndivdvds 12537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
4443biimp3a 1281 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( M  /  N )  e.  NN )
4544nnzd 10116 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( M  /  N )  e.  ZZ )
4645adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( M  /  N )  e.  ZZ )
47 mulgcdr 12727 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( M  /  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( x  x.  N )  gcd  (
( M  /  N
)  x.  N ) )  =  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N ) )
4818, 46, 12, 47syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd  ( ( M  /  N )  x.  N
) )  =  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N ) )
49 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 )
5049oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
5136mulid2d 8853 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  (
1  x.  N )  =  N )
5251adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
5350, 52eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N )  =  N )
5442, 48, 533eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd 
M )  =  N )
55 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  x.  N )  ->  (
z  gcd  M )  =  ( ( x  x.  N )  gcd 
M ) )
5655eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x  x.  N )  ->  (
( z  gcd  M
)  =  N  <->  ( (
x  x.  N )  gcd  M )  =  N ) )
57 hashgcdlem.b . . . . 5  |-  B  =  { z  e.  ( 0..^ M )  |  ( z  gcd  M
)  =  N }
5856, 57elrab2 2925 . . . 4  |-  ( ( x  x.  N )  e.  B  <->  ( (
x  x.  N )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( x  x.  N )  gcd  M )  =  N ) )
5932, 54, 58sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  B
)
605, 59sylan2b 461 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  x.  N
)  e.  B )
61 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
6261eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  M
)  =  N  <->  ( w  gcd  M )  =  N ) )
6362, 57elrab2 2925 . . 3  |-  ( w  e.  B  <->  ( w  e.  ( 0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )
64 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  gcd  M )  =  N )
65 elfzoelz 10875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  e.  ZZ )
6665ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
67 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  NN )
6867nnzd 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  ZZ )
69 gcddvds 12694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
7066, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M )  ||  M ) )
7170simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  gcd  M )  ||  w )
7264, 71eqbrtrrd 4045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  ||  w
)
73 nnz 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
74733ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  ZZ )
7574adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
7638adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  =/=  0
)
77 dvdsval2 12534 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  w  <->  ( w  /  N )  e.  ZZ ) )
7875, 76, 66, 77syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  ||  w 
<->  ( w  /  N
)  e.  ZZ ) )
7972, 78mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  ZZ )
80 elfzofz 10889 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  e.  ( 0 ... M
) )
8180ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  ( 0 ... M ) )
82 elfznn0 10822 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( 0 ... M )  ->  w  e.  NN0 )
83 nn0re 9974 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN0  ->  w  e.  RR )
84 nn0ge0 9991 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN0  ->  0  <_  w )
8583, 84jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  NN0  ->  ( w  e.  RR  /\  0  <_  w ) )
8681, 82, 853syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  e.  RR  /\  0  <_  w ) )
8726adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
88 divge0 9625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <_  w )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( w  /  N ) )
8986, 87, 88syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  0  <_  (
w  /  N ) )
90 elnn0z 10036 . . . . . 6  |-  ( ( w  /  N )  e.  NN0  <->  ( ( w  /  N )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( w  /  N
) ) )
9179, 89, 90sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  NN0 )
9244adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( M  /  N )  e.  NN )
93 elfzolt2 10883 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  <  M )
9493ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  <  M
)
9566zred 10117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  RR )
9621adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  RR )
97 ltdiv1 9620 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( w  <  M  <->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
9895, 96, 87, 97syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  < 
M  <->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
9994, 98mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) )
100 elfzo0 10904 . . . . 5  |-  ( ( w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  <->  ( ( w  /  N )  e. 
NN0  /\  ( M  /  N )  e.  NN  /\  ( w  /  N
)  <  ( M  /  N ) ) )
10191, 92, 99, 100syl3anbrc 1136 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) ) )
10264oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
103 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  e.  NN )
104 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  ||  M
)
105 gcddiv 12728 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  ||  w  /\  N  ||  M ) )  ->  ( (
w  gcd  M )  /  N )  =  ( ( w  /  N
)  gcd  ( M  /  N ) ) )
10666, 68, 103, 72, 104, 105syl32anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  /  N )  =  ( ( w  /  N
)  gcd  ( M  /  N ) ) )
10736, 38dividd 9534 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
108107adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
109102, 106, 1083eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 )
110 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( w  /  N )  ->  (
y  gcd  ( M  /  N ) )  =  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) ) )
111110eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( y  =  ( w  /  N )  ->  (
( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1  <->  ( (
w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )
112111, 4elrab2 2925 . . . 4  |-  ( ( w  /  N )  e.  A  <->  ( (
w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )
113101, 109, 112sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  A
)
11463, 113sylan2b 461 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  w  e.  B )  ->  ( w  /  N
)  e.  A )
1155simplbi 446 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) ) )
11663simplbi 446 . . . 4  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( 0..^ M ) )
117115, 116anim12i 549 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )
11865ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  e.  ZZ )
119118zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  e.  CC )
12036adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  N  e.  CC )
12138adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  N  =/=  0
)
122119, 120, 121divcan1d 9537 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( w  /  N )  x.  N )  =  w )
123122eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  =  ( ( w  /  N
)  x.  N ) )
124 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( w  /  N )  ->  (
x  x.  N )  =  ( ( w  /  N )  x.  N ) )
125124eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( x  =  ( w  /  N )  ->  (
w  =  ( x  x.  N )  <->  w  =  ( ( w  /  N )  x.  N
) ) )
126123, 125syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( x  =  ( w  /  N
)  ->  w  =  ( x  x.  N
) ) )
12717ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
128127zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  e.  CC )
129128, 120, 121divcan4d 9542 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( x  x.  N )  /  N )  =  x )
130129eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  =  ( ( x  x.  N
)  /  N ) )
131 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  x.  N )  ->  (
w  /  N )  =  ( ( x  x.  N )  /  N ) )
132131eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  x.  N )  ->  (
x  =  ( w  /  N )  <->  x  =  ( ( x  x.  N )  /  N
) ) )
133130, 132syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( w  =  ( x  x.  N
)  ->  x  =  ( w  /  N
) ) )
134126, 133impbid 183 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( x  =  ( w  /  N
)  <->  w  =  (
x  x.  N ) ) )
135117, 134sylan2 460 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  B
) )  ->  (
x  =  ( w  /  N )  <->  w  =  ( x  x.  N
) ) )
1361, 60, 114, 135f1o2d 6069 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685
This theorem is referenced by:  hashgcdeq  27517
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686
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