MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashginv Unicode version

Theorem hashginv 11585
Description:  `' G maps the size function's value to  card. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
hashginv  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `' G `  ( # `  A ) )  =  ( card `  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem hashginv
StepHypRef Expression
1 ficardom 7812 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  e. 
om )
2 hashgval.1 . . 3  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
32hashgval 11584 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( G `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
42hashgf1o 11273 . . 3  |-  G : om
-1-1-onto-> NN0
5 f1ocnvfv 5983 . . 3  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( card `  A )  e.  om )  ->  ( ( G `
 ( card `  A
) )  =  (
# `  A )  ->  ( `' G `  ( # `  A ) )  =  ( card `  A ) ) )
64, 5mpan 652 . 2  |-  ( (
card `  A )  e.  om  ->  ( ( G `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
)  ->  ( `' G `  ( # `  A
) )  =  (
card `  A )
) )
71, 3, 6sylc 58 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `' G `  ( # `  A ) )  =  ( card `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    e. cmpt 4234   omcom 4812   `'ccnv 4844    |` cres 4847   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   reccrdg 6634   Fincfn 7076   cardccrd 7786   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957   NN0cn0 10185   #chash 11581
This theorem is referenced by:  hashen  11594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-hash 11582
  Copyright terms: Public domain W3C validator