MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el Structured version   Unicode version

Theorem hashgt12el 11687
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el  |-  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b )
Distinct variable groups:    W, a    V, a, b
Allowed substitution hint:    W( b)

Proof of Theorem hashgt12el
StepHypRef Expression
1 hash0 11651 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2 fveq2 5731 . . . 4  |-  ( (/)  =  V  ->  ( # `  (/) )  =  (
# `  V )
)
31, 2syl5eqr 2484 . . 3  |-  ( (/)  =  V  ->  0  =  ( # `  V
) )
4 breq2 4219 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
1  <  ( # `  V
)  <->  1  <  0
) )
54biimpd 200 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  1  <  0 ) )
65eqcoms 2441 . . . . . 6  |-  ( 0  =  ( # `  V
)  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  1  <  0 ) )
7 0le1 9556 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
8 0re 9096 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
9 1re 9095 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
108, 9lenlti 9198 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  1  <->  -.  1  <  0 )
11 pm2.21 103 . . . . . . . 8  |-  ( -.  1  <  0  -> 
( 1  <  0  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
1210, 11sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  ->  (
1  <  0  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
137, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1  <  0  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b )
146, 13syl6com 34 . . . . 5  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( 0  =  ( # `  V
)  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
1514adantl 454 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
0  =  ( # `  V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
1615com12 30 . . 3  |-  ( 0  =  ( # `  V
)  ->  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
173, 16syl 16 . 2  |-  ( (/)  =  V  ->  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
18 df-ne 2603 . . . 4  |-  ( (/)  =/=  V  <->  -.  (/)  =  V )
19 necom 2687 . . . 4  |-  ( (/)  =/=  V  <->  V  =/=  (/) )
2018, 19bitr3i 244 . . 3  |-  ( -.  (/)  =  V  <->  V  =/=  (/) )
21 ralnex 2717 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  V  -.  E. b  e.  V  a  =/=  b  <->  -.  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b )
22 ralnex 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  V  -.  a  =/=  b  <->  -.  E. b  e.  V  a  =/=  b )
23 nne 2607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  a  =/=  b  <->  a  =  b )
24 equcom 1693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  <->  b  =  a )
2523, 24bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  a  =/=  b  <->  b  =  a )
2625ralbii 2731 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  V  -.  a  =/=  b  <->  A. b  e.  V  b  =  a )
2722, 26bitr3i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
E. b  e.  V  a  =/=  b  <->  A. b  e.  V  b  =  a )
2827ralbii 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  V  -.  E. b  e.  V  a  =/=  b  <->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  b  =  a )
2921, 28bitr3i 244 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b  <->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  b  =  a )
30 eqsn 3962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  =  { a }  <->  A. b  e.  V  b  =  a ) )
3130adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V  =  { a } 
<-> 
A. b  e.  V  b  =  a )
)
3231bicomd 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. b  e.  V  b  =  a  <->  V  =  { a } ) )
3332ralbidv 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  b  =  a  <->  A. a  e.  V  V  =  { a } ) )
34 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  =  ( # `  { a } ) )
35 hashsnlei 11685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { a }  e.  Fin  /\  ( # `  {
a } )  <_ 
1 )
3635simpri 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  { a } )  <_  1
3734, 36syl6eqbr 4252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  <_  1 )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  W  /\  a  e.  V )  ->  ( V  =  {
a }  ->  ( # `
 V )  <_ 
1 ) )
3938reximdva0 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  V  ( V  =  { a }  ->  (
# `  V )  <_  1 ) )
40 r19.36av 2858 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  V  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  <_  1 )  ->  ( A. a  e.  V  V  =  { a }  ->  (
# `  V )  <_  1 ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. a  e.  V  V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  <_  1 ) )
4233, 41sylbid 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  b  =  a  ->  (
# `  V )  <_  1 ) )
43 hashxrcl 11645 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  W  ->  ( # `
 V )  e. 
RR* )
4443adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( # `
 V )  e. 
RR* )
459rexri 9142 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR*
46 xrlenlt 9148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( # `  V )  <_  1  <->  -.  1  <  ( # `  V
) ) )
4744, 45, 46sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( # `  V )  <_  1  <->  -.  1  <  ( # `  V
) ) )
4842, 47sylibd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  b  =  a  ->  -.  1  <  ( # `  V ) ) )
4929, 48syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b  ->  -.  1  <  ( # `  V
) ) )
5049con4d 100 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
5150impancom 429 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
5251com12 30 . . 3  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
5320, 52sylbi 189 . 2  |-  ( -.  (/)  =  V  ->  (
( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
5417, 53pm2.61i 159 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4215   ` cfv 5457   Fincfn 7112   0cc0 8995   1c1 8996   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   #chash 11623
This theorem is referenced by:  frgrawopreglem5  28511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624
  Copyright terms: Public domain W3C validator