Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval Unicode version

Theorem hashgval 11433
 Description: The value of the function in terms of the mapping from to . The proof avoids the use of ax-ac 8175. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1
Assertion
Ref Expression
hashgval
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem hashgval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5052 . . . . . 6
2 eqid 2358 . . . . . . . . . 10
3 eqid 2358 . . . . . . . . . 10
42, 3hashkf 11432 . . . . . . . . 9
5 ffn 5472 . . . . . . . . 9
6 fnresdm 5435 . . . . . . . . 9
74, 5, 6mp2b 9 . . . . . . . 8
8 incom 3437 . . . . . . . . . 10
9 disjdif 3602 . . . . . . . . . 10
108, 9eqtri 2378 . . . . . . . . 9
11 pnfxr 10547 . . . . . . . . . . . 12
1211elexi 2873 . . . . . . . . . . 11
1312fconst 5510 . . . . . . . . . 10
14 ffn 5472 . . . . . . . . . 10
15 fnresdisj 5436 . . . . . . . . . 10
1613, 14, 15mp2b 9 . . . . . . . . 9
1710, 16mpbi 199 . . . . . . . 8
187, 17uneq12i 3403 . . . . . . 7
19 un0 3555 . . . . . . 7
2018, 19eqtri 2378 . . . . . 6
211, 20eqtri 2378 . . . . 5
22 df-hash 11431 . . . . . 6
2322reseq1i 5033 . . . . 5
24 hashgval.1 . . . . . 6
2524coeq1i 4925 . . . . 5
2621, 23, 253eqtr4i 2388 . . . 4
2726fveq1i 5609 . . 3
28 cardf2 7666 . . . . 5
29 ffun 5474 . . . . 5
3028, 29ax-mp 8 . . . 4
31 finnum 7671 . . . 4
32 fvco 5678 . . . 4
3330, 31, 32sylancr 644 . . 3
3427, 33syl5eq 2402 . 2
35 fvres 5625 . 2
3634, 35eqtr3d 2392 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wceq 1642   wcel 1710  cab 2344  wrex 2620  cvv 2864   cdif 3225   cun 3226   cin 3227  c0 3531  csn 3716   class class class wbr 4104   cmpt 4158  con0 4474  com 4738   cxp 4769   cdm 4771   cres 4773   ccom 4775   wfun 5331   wfn 5332  wf 5333  cfv 5337  (class class class)co 5945  crdg 6509   cen 6948  cfn 6951  ccrd 7658  cc0 8827  c1 8828   caddc 8830   cpnf 8954  cxr 8956  cn0 10057  chash 11430 This theorem is referenced by:  hashginv  11434  hashfz1  11438  hashen  11439  hashcard  11442  hashcl  11443  hashgval2  11453  hashdom  11454  hashun  11457  fz1isolem  11495 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-hash 11431
 Copyright terms: Public domain W3C validator