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Theorem hashgval 11576
Description: The value of the  # function in terms of the mapping  G from  om to  NN0. The proof avoids the use of ax-ac 8295. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
hashgval  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( G `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem hashgval
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5120 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )  |`  Fin )  =  ( ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  Fin )  u.  ( ( ( _V 
\  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  Fin )
)
2 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
3 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
42, 3hashkf 11575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0
5 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  Fn  Fin )
6 fnresdm 5513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  Fn  Fin  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  Fin )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) )
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  Fin )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
8 incom 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _V  \  Fin )  i^i  Fin )  =  ( Fin  i^i  ( _V 
\  Fin ) )
9 disjdif 3660 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fin 
i^i  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)
108, 9eqtri 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _V  \  Fin )  i^i  Fin )  =  (/)
11 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
1211elexi 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  _V
1312fconst 5588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) : ( _V  \  Fin ) --> {  +oo }
14 ffn 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) : ( _V 
\  Fin ) --> {  +oo }  ->  ( ( _V 
\  Fin )  X.  {  +oo } )  Fn  ( _V  \  Fin ) )
15 fnresdisj 5514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  Fn  ( _V 
\  Fin )  ->  (
( ( _V  \  Fin )  i^i  Fin )  =  (/)  <->  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  Fin )  =  (/) ) )
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  i^i  Fin )  =  (/) 
<->  ( ( ( _V 
\  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  Fin )  =  (/) )
1710, 16mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  |`  Fin )  =  (/)
187, 17uneq12i 3459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  Fin )  u.  ( ( ( _V 
\  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  Fin )
)  =  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (/) )
19 un0 3612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (/) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
2018, 19eqtri 2424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  Fin )  u.  ( ( ( _V 
\  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  Fin )
)  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
211, 20eqtri 2424 . . . . 5  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )  |`  Fin )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
22 df-hash 11574 . . . . . 6  |-  #  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )
2322reseq1i 5101 . . . . 5  |-  ( #  |` 
Fin )  =  ( ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )  |`  Fin )
24 hashgval.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
2524coeq1i 4991 . . . . 5  |-  ( G  o.  card )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
2621, 23, 253eqtr4i 2434 . . . 4  |-  ( #  |` 
Fin )  =  ( G  o.  card )
2726fveq1i 5688 . . 3  |-  ( (
#  |`  Fin ) `  A )  =  ( ( G  o.  card ) `  A )
28 cardf2 7786 . . . . 5  |-  card : {
x  |  E. y  e.  On  y  ~~  x }
--> On
29 ffun 5552 . . . . 5  |-  ( card
: { x  |  E. y  e.  On  y  ~~  x } --> On  ->  Fun 
card )
3028, 29ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  card
31 finnum 7791 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
32 fvco 5758 . . . 4  |-  ( ( Fun  card  /\  A  e. 
dom  card )  ->  (
( G  o.  card ) `  A )  =  ( G `  ( card `  A )
) )
3330, 31, 32sylancr 645 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( G  o.  card ) `  A )  =  ( G `  ( card `  A )
) )
3427, 33syl5eq 2448 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( #  |`  Fin ) `  A )  =  ( G `  ( card `  A ) ) )
35 fvres 5704 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( #  |`  Fin ) `  A )  =  (
# `  A )
)
3634, 35eqtr3d 2438 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( G `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   Oncon0 4541   omcom 4804    X. cxp 4835   dom cdm 4837    |` cres 4839    o. ccom 4841   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   reccrdg 6626    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   cardccrd 7778   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   NN0cn0 10177   #chash 11573
This theorem is referenced by:  hashginv  11577  hashfz1  11585  hashen  11586  hashcard  11593  hashcl  11594  hashgval2  11607  hashdom  11608  hashun  11611  fz1isolem  11665
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-hash 11574
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