MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval2 Structured version   Unicode version

Theorem hashgval2 11652
Description: A short expression for the  G function of hashgf1o 11310. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashgval2  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )

Proof of Theorem hashgval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf 11625 . . . . 5  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  {  +oo } )
2 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { 
+oo } )  ->  #  Fn  _V )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  #  Fn  _V
4 ssv 3368 . . . 4  |-  om  C_  _V
5 fnssres 5558 . . . 4  |-  ( (
#  Fn  _V  /\  om  C_  _V )  ->  ( #  |`  om )  Fn  om )
63, 4, 5mp2an 654 . . 3  |-  ( #  |` 
om )  Fn  om
7 frfnom 6692 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  Fn  om
8 eqfnfv 5827 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  om )  Fn  om  /\  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  Fn  om )  ->  (
( #  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  <->  A. y  e.  om  (
( #  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y
) ) )
96, 7, 8mp2an 654 . 2  |-  ( (
#  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  <->  A. y  e.  om  ( ( #  |` 
om ) `  y
)  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y ) )
10 fvres 5745 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( #  |`  om ) `  y )  =  (
# `  y )
)
11 nnfi 7299 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  Fin )
12 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
1312hashgval 11621 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( # `  y
) )
1411, 13syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( # `  y
) )
15 cardnn 7850 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( card `  y )  =  y )
1615fveq2d 5732 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y ) )
1710, 14, 163eqtr2d 2474 . 2  |-  ( y  e.  om  ->  (
( #  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y
) )
189, 17mprgbir 2776 1  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    u. cun 3318    C_ wss 3320   {csn 3814    e. cmpt 4266   omcom 4845    |` cres 4880    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   reccrdg 6667   Fincfn 7109   cardccrd 7822   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    +oocpnf 9117   NN0cn0 10221   #chash 11618
This theorem is referenced by:  ackbijnn  12607  ltbwe  16533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-hash 11619
  Copyright terms: Public domain W3C validator