MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval2 Unicode version

Theorem hashgval2 11360
Description: A short expression for the  G function of hashgf1o 11033. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashgval2  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )

Proof of Theorem hashgval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf 11344 . . . . 5  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  {  +oo } )
2 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { 
+oo } )  ->  #  Fn  _V )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  #  Fn  _V
4 ssv 3198 . . . 4  |-  om  C_  _V
5 fnssres 5357 . . . 4  |-  ( (
#  Fn  _V  /\  om  C_  _V )  ->  ( #  |`  om )  Fn  om )
63, 4, 5mp2an 653 . . 3  |-  ( #  |` 
om )  Fn  om
7 frfnom 6447 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  Fn  om
8 eqfnfv 5622 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  om )  Fn  om  /\  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  Fn  om )  ->  (
( #  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  <->  A. y  e.  om  (
( #  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y
) ) )
96, 7, 8mp2an 653 . 2  |-  ( (
#  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  <->  A. y  e.  om  ( ( #  |` 
om ) `  y
)  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y ) )
10 fvres 5542 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( #  |`  om ) `  y )  =  (
# `  y )
)
11 nnfi 7053 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  Fin )
12 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
1312hashgval 11340 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( # `  y
) )
1411, 13syl 15 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( # `  y
) )
15 cardnn 7596 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( card `  y )  =  y )
1615fveq2d 5529 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y ) )
1710, 14, 163eqtr2d 2321 . 2  |-  ( y  e.  om  ->  (
( #  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y
) )
189, 17mprgbir 2613 1  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077   omcom 4656    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422   Fincfn 6863   cardccrd 7568   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   NN0cn0 9965   #chash 11337
This theorem is referenced by:  ackbijnn  12286  ltbwe  16214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator