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Theorem hashinf 11342
Description: The value of the  # function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashinf  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )

Proof of Theorem hashinf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 eldif 3162 . . 3  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  <->  ( A  e. 
_V  /\  -.  A  e.  Fin ) )
3 df-hash 11338 . . . . . . 7  |-  #  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )
43reseq1i 4951 . . . . . 6  |-  ( #  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )  |`  ( _V  \  Fin ) )
5 resundir 4970 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  u.  (
( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) ) )
6 disjdif 3526 . . . . . . . . 9  |-  ( Fin 
i^i  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)
7 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
8 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
97, 8hashkf 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0
10 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  Fn  Fin )
11 fnresdisj 5354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  Fn  Fin  ->  (
( Fin  i^i  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)  <->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  (/) ) )
129, 10, 11mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fin  i^i  ( _V 
\  Fin ) )  =  (/) 
<->  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  (/) )
136, 12mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)
14 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
1514elexi 2797 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e.  _V
1615fconst 5427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) : ( _V  \  Fin ) --> {  +oo }
17 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) : ( _V 
\  Fin ) --> {  +oo }  ->  ( ( _V 
\  Fin )  X.  {  +oo } )  Fn  ( _V  \  Fin ) )
18 fnresdm 5353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  Fn  ( _V 
\  Fin )  ->  (
( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) )
1916, 17, 18mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)
2013, 19uneq12i 3327 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  u.  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) ) )  =  ( (/)  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )
21 uncom 3319 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) )  =  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  u.  (/) )
22 un0 3479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  u.  (/) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )
2320, 21, 223eqtri 2307 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  u.  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )
244, 5, 233eqtri 2307 . . . . 5  |-  ( #  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)
2524fveq1i 5526 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ( _V  \  Fin ) ) `  A
)  =  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) `  A )
26 fvres 5542 . . . 4  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  ->  ( (
#  |`  ( _V  \  Fin ) ) `  A
)  =  ( # `  A ) )
2715fvconst2 5729 . . . 4  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  ->  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) `  A )  =  +oo )
2825, 26, 273eqtr3a 2339 . . 3  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  ->  ( # `  A )  =  +oo )
292, 28sylbir 204 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
301, 29sylan 457 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077   omcom 4656    X. cxp 4687    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422   Fincfn 6863   cardccrd 7568   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866   NN0cn0 9965   #chash 11337
This theorem is referenced by:  hashbnd  11343  hasheni  11347  hashclb  11352  hasheq0  11353  hashdom  11361  hashdomi  11362  odhash  14885  lt6abl  15181  umgrafi  23285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-hash 11338
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