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Theorem hashinf 11358
Description: The value of the  # function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashinf  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )

Proof of Theorem hashinf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 eldif 3175 . . 3  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  <->  ( A  e. 
_V  /\  -.  A  e.  Fin ) )
3 df-hash 11354 . . . . . . 7  |-  #  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )
43reseq1i 4967 . . . . . 6  |-  ( #  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )  |`  ( _V  \  Fin ) )
5 resundir 4986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  u.  (
( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) ) )
6 disjdif 3539 . . . . . . . . 9  |-  ( Fin 
i^i  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)
7 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
8 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
97, 8hashkf 11355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0
10 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  Fn  Fin )
11 fnresdisj 5370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  Fn  Fin  ->  (
( Fin  i^i  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)  <->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  (/) ) )
129, 10, 11mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fin  i^i  ( _V 
\  Fin ) )  =  (/) 
<->  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  (/) )
136, 12mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)
14 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
1514elexi 2810 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e.  _V
1615fconst 5443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) : ( _V  \  Fin ) --> {  +oo }
17 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) : ( _V 
\  Fin ) --> {  +oo }  ->  ( ( _V 
\  Fin )  X.  {  +oo } )  Fn  ( _V  \  Fin ) )
18 fnresdm 5369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  Fn  ( _V 
\  Fin )  ->  (
( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) )
1916, 17, 18mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)
2013, 19uneq12i 3340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  u.  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) ) )  =  ( (/)  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )
21 uncom 3332 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) )  =  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  u.  (/) )
22 un0 3492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  u.  (/) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )
2320, 21, 223eqtri 2320 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  u.  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )
244, 5, 233eqtri 2320 . . . . 5  |-  ( #  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)
2524fveq1i 5542 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ( _V  \  Fin ) ) `  A
)  =  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) `  A )
26 fvres 5558 . . . 4  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  ->  ( (
#  |`  ( _V  \  Fin ) ) `  A
)  =  ( # `  A ) )
2715fvconst2 5745 . . . 4  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  ->  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) `  A )  =  +oo )
2825, 26, 273eqtr3a 2352 . . 3  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  ->  ( # `  A )  =  +oo )
292, 28sylbir 204 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
301, 29sylan 457 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093   omcom 4672    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   reccrdg 6438   Fincfn 6879   cardccrd 7584   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882   NN0cn0 9981   #chash 11353
This theorem is referenced by:  hashbnd  11359  hasheni  11363  hashclb  11368  hasheq0  11369  hashdom  11377  hashdomi  11378  odhash  14901  lt6abl  15197  hashge1  23403  esumpinfsum  23460  hasheuni  23468  umgrafi  23889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-hash 11354
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