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Theorem hashinf 11623
Description: The value of the  # function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashinf  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )

Proof of Theorem hashinf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2964 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 eldif 3330 . . 3  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  <->  ( A  e. 
_V  /\  -.  A  e.  Fin ) )
3 df-hash 11619 . . . . . . 7  |-  #  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )
43reseq1i 5142 . . . . . 6  |-  ( #  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )  |`  ( _V  \  Fin ) )
5 resundir 5161 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  u.  (
( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) ) )
6 disjdif 3700 . . . . . . . . 9  |-  ( Fin 
i^i  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)
7 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
8 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
97, 8hashkf 11620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0
10 ffn 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  Fn  Fin )
11 fnresdisj 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  Fn  Fin  ->  (
( Fin  i^i  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)  <->  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  (/) ) )
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fin  i^i  ( _V 
\  Fin ) )  =  (/) 
<->  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  (/) )
136, 12mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)
14 pnfxr 10713 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
1514elexi 2965 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e.  _V
1615fconst 5629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) : ( _V  \  Fin ) --> {  +oo }
17 ffn 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) : ( _V 
\  Fin ) --> {  +oo }  ->  ( ( _V 
\  Fin )  X.  {  +oo } )  Fn  ( _V  \  Fin ) )
18 fnresdm 5554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  Fn  ( _V 
\  Fin )  ->  (
( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) )
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)
2013, 19uneq12i 3499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  u.  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) ) )  =  ( (/)  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) )
21 uncom 3491 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } ) )  =  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  u.  (/) )
22 un0 3652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)  u.  (/) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )
2320, 21, 223eqtri 2460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  ( _V  \  Fin ) )  u.  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )  |`  ( _V  \  Fin ) ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo } )
244, 5, 233eqtri 2460 . . . . 5  |-  ( #  |`  ( _V  \  Fin ) )  =  ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
)
2524fveq1i 5729 . . . 4  |-  ( (
#  |`  ( _V  \  Fin ) ) `  A
)  =  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) `  A )
26 fvres 5745 . . . 4  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  ->  ( (
#  |`  ( _V  \  Fin ) ) `  A
)  =  ( # `  A ) )
2715fvconst2 5947 . . . 4  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  ->  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  {  +oo }
) `  A )  =  +oo )
2825, 26, 273eqtr3a 2492 . . 3  |-  ( A  e.  ( _V  \  Fin )  ->  ( # `  A )  =  +oo )
292, 28sylbir 205 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
301, 29sylan 458 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  =  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319   (/)c0 3628   {csn 3814    e. cmpt 4266   omcom 4845    X. cxp 4876    |` cres 4880    o. ccom 4882    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   reccrdg 6667   Fincfn 7109   cardccrd 7822   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119   NN0cn0 10221   #chash 11618
This theorem is referenced by:  hashbnd  11624  hasheni  11632  hasheqf1oi  11635  hashclb  11641  hasheq0  11644  hashdom  11653  hashdomi  11654  hashunx  11660  hashge1  11663  hash1snb  11681  odhash  15208  lt6abl  15504  umgrafi  21357  sizeusglecusg  21495  hashnbgravdg  21682  esumpinfsum  24467  hasheuni  24475  euhash1  28167
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-hash 11619
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