MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashiun Unicode version

Theorem hashiun 12377
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumiun.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsumiun.3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A B
)
Assertion
Ref Expression
hashiun  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumiun.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
3 fsumiun.3 . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A B
)
4 ax-1cn 8885 . . . 4  |-  1  e.  CC
54a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  -> 
1  e.  CC )
61, 2, 3, 5fsumiun 12376 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1 )
72ralrimiva 2702 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
8 iunfi 7234 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
91, 7, 8syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
10 fsumconst 12349 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B 1  =  ( ( # `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
119, 4, 10sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
12 hashcl 11443 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  Fin  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  NN0 )
139, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  NN0 )
14 nn0cn 10067 . . . 4  |-  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  e. 
NN0  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC )
15 mulid1 8925 . . . 4  |-  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC  ->  ( ( # `
 U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  ( # `  U_ x  e.  A  B ) )
1613, 14, 153syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  (
# `  U_ x  e.  A  B ) )
1711, 16eqtrd 2390 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( # `  U_ x  e.  A  B ) )
18 fsumconst 12349 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  B 
1  =  ( (
# `  B )  x.  1 ) )
192, 4, 18sylancl 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( ( # `  B
)  x.  1 ) )
20 hashcl 11443 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
212, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
22 nn0cn 10067 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
23 mulid1 8925 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  CC  ->  ( ( # `
 B )  x.  1 )  =  (
# `  B )
)
2421, 22, 233syl 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( # `  B )  x.  1 )  =  ( # `  B
) )
2519, 24eqtrd 2390 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( # `  B ) )
2625sumeq2dv 12273 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
276, 17, 263eqtr3d 2398 1  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   U_ciun 3986  Disj wdisj 4074   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Fincfn 6951   CCcc 8825   1c1 8828    x. cmul 8832   NN0cn0 10057   #chash 11430   sum_csu 12255
This theorem is referenced by:  hashiunOLD  12379  hashuni  12380  ackbijnn  12383  lgsquadlem1  20705  lgsquadlem2  20706  hashunif  23362  phisum  26841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-disj 4075  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-sum 12256
  Copyright terms: Public domain W3C validator