MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashiun Structured version   Unicode version

Theorem hashiun 12601
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumiun.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsumiun.3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A B
)
Assertion
Ref Expression
hashiun  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumiun.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
3 fsumiun.3 . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A B
)
4 ax-1cn 9048 . . . 4  |-  1  e.  CC
54a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  -> 
1  e.  CC )
61, 2, 3, 5fsumiun 12600 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1 )
72ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
8 iunfi 7394 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
91, 7, 8syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
10 fsumconst 12573 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B 1  =  ( ( # `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
119, 4, 10sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
12 hashcl 11639 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  Fin  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  NN0 )
139, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  NN0 )
14 nn0cn 10231 . . . 4  |-  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  e. 
NN0  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC )
15 mulid1 9088 . . . 4  |-  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC  ->  ( ( # `
 U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  ( # `  U_ x  e.  A  B ) )
1613, 14, 153syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  (
# `  U_ x  e.  A  B ) )
1711, 16eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( # `  U_ x  e.  A  B ) )
18 fsumconst 12573 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  B 
1  =  ( (
# `  B )  x.  1 ) )
192, 4, 18sylancl 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( ( # `  B
)  x.  1 ) )
20 hashcl 11639 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
212, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
22 nn0cn 10231 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
23 mulid1 9088 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  CC  ->  ( ( # `
 B )  x.  1 )  =  (
# `  B )
)
2421, 22, 233syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( # `  B )  x.  1 )  =  ( # `  B
) )
2519, 24eqtrd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( # `  B ) )
2625sumeq2dv 12497 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
276, 17, 263eqtr3d 2476 1  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   U_ciun 4093  Disj wdisj 4182   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   1c1 8991    x. cmul 8995   NN0cn0 10221   #chash 11618   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  hashiunOLD  12603  hashuni  12604  ackbijnn  12607  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  hashunif  24158  phisum  27495  cshwssizensame  28289  frghash2spot  28452  usgreghash2spotv  28455  usgreghash2spot  28458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator