MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashiun Unicode version

Theorem hashiun 12280
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumiun.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsumiun.3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A B
)
Assertion
Ref Expression
hashiun  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumiun.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
3 fsumiun.3 . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A B
)
4 ax-1cn 8795 . . . 4  |-  1  e.  CC
54a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  -> 
1  e.  CC )
61, 2, 3, 5fsumiun 12279 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1 )
72ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
8 iunfi 7144 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
91, 7, 8syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
10 fsumconst 12252 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B 1  =  ( ( # `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
119, 4, 10sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
12 hashcl 11350 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  Fin  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  NN0 )
139, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  NN0 )
14 nn0cn 9975 . . . 4  |-  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  e. 
NN0  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC )
15 mulid1 8835 . . . 4  |-  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC  ->  ( ( # `
 U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  ( # `  U_ x  e.  A  B ) )
1613, 14, 153syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  (
# `  U_ x  e.  A  B ) )
1711, 16eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( # `  U_ x  e.  A  B ) )
18 fsumconst 12252 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  B 
1  =  ( (
# `  B )  x.  1 ) )
192, 4, 18sylancl 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( ( # `  B
)  x.  1 ) )
20 hashcl 11350 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
212, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
22 nn0cn 9975 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
23 mulid1 8835 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  CC  ->  ( ( # `
 B )  x.  1 )  =  (
# `  B )
)
2421, 22, 233syl 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( # `  B )  x.  1 )  =  ( # `  B
) )
2519, 24eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( # `  B ) )
2625sumeq2dv 12176 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
276, 17, 263eqtr3d 2323 1  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   U_ciun 3905  Disj wdisj 3993   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   1c1 8738    x. cmul 8742   NN0cn0 9965   #chash 11337   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  hashiunOLD  12282  hashuni  12283  ackbijnn  12286  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  hashunif  23385  phisum  27518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator