Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashiun Structured version   Unicode version

Theorem hashiun 12601
 Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1
fsumiun.2
fsumiun.3 Disj
Assertion
Ref Expression
hashiun
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3
2 fsumiun.2 . . 3
3 fsumiun.3 . . 3 Disj
4 ax-1cn 9048 . . . 4
54a1i 11 . . 3
61, 2, 3, 5fsumiun 12600 . 2
72ralrimiva 2789 . . . . 5
8 iunfi 7394 . . . . 5
91, 7, 8syl2anc 643 . . . 4
10 fsumconst 12573 . . . 4
119, 4, 10sylancl 644 . . 3
12 hashcl 11639 . . . . 5
139, 12syl 16 . . . 4
14 nn0cn 10231 . . . 4
15 mulid1 9088 . . . 4
1613, 14, 153syl 19 . . 3
1711, 16eqtrd 2468 . 2
18 fsumconst 12573 . . . . 5
192, 4, 18sylancl 644 . . . 4
20 hashcl 11639 . . . . . 6
212, 20syl 16 . . . . 5
22 nn0cn 10231 . . . . 5
23 mulid1 9088 . . . . 5
2421, 22, 233syl 19 . . . 4
2519, 24eqtrd 2468 . . 3
2625sumeq2dv 12497 . 2
276, 17, 263eqtr3d 2476 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  ciun 4093  Disj wdisj 4182  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  cc 8988  c1 8991   cmul 8995  cn0 10221  chash 11618  csu 12479 This theorem is referenced by:  hashiunOLD  12603  hashuni  12604  ackbijnn  12607  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  hashunif  24158  phisum  27495  cshwssizensame  28289  frghash2spot  28452  usgreghash2spotv  28455  usgreghash2spot  28458 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
 Copyright terms: Public domain W3C validator