Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashkf Structured version   Unicode version

Theorem hashkf 11612
 Description: The finite part of the size function maps all finite sets to their cardinality, as members of . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgval.1
hashkf.2
Assertion
Ref Expression
hashkf

Proof of Theorem hashkf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 6684 . . . . . . 7
2 hashgval.1 . . . . . . . 8
32fneq1i 5531 . . . . . . 7
41, 3mpbir 201 . . . . . 6
5 fnfun 5534 . . . . . 6
64, 5ax-mp 8 . . . . 5
7 cardf2 7822 . . . . . 6
8 ffun 5585 . . . . . 6
97, 8ax-mp 8 . . . . 5
10 funco 5483 . . . . 5
116, 9, 10mp2an 654 . . . 4
12 dmco 5370 . . . . 5
13 fndm 5536 . . . . . . 7
144, 13ax-mp 8 . . . . . 6
1514imaeq2i 5193 . . . . 5
16 funfn 5474 . . . . . . . . 9
179, 16mpbi 200 . . . . . . . 8
18 elpreima 5842 . . . . . . . 8
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . 7
20 id 20 . . . . . . . . . 10
21 cardid2 7832 . . . . . . . . . . 11
2221ensymd 7150 . . . . . . . . . 10
23 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11
2423rspcev 3044 . . . . . . . . . 10
2520, 22, 24syl2anr 465 . . . . . . . . 9
26 isfi 7123 . . . . . . . . 9
2725, 26sylibr 204 . . . . . . . 8
28 finnum 7827 . . . . . . . . 9
29 ficardom 7840 . . . . . . . . 9
3028, 29jca 519 . . . . . . . 8
3127, 30impbii 181 . . . . . . 7
3219, 31bitri 241 . . . . . 6
3332eqriv 2432 . . . . 5
3412, 15, 333eqtri 2459 . . . 4
35 df-fn 5449 . . . 4
3611, 34, 35mpbir2an 887 . . 3
37 hashkf.2 . . . 4
3837fneq1i 5531 . . 3
3936, 38mpbir 201 . 2
4037fveq1i 5721 . . . . 5
41 fvco 5791 . . . . . 6
429, 28, 41sylancr 645 . . . . 5
4340, 42syl5eq 2479 . . . 4
442hashgf1o 11302 . . . . . . 7
45 f1of 5666 . . . . . . 7
4644, 45ax-mp 8 . . . . . 6
4746ffvelrni 5861 . . . . 5
4829, 47syl 16 . . . 4
4943, 48eqeltrd 2509 . . 3
5049rgen 2763 . 2
51 ffnfv 5886 . 2
5239, 50, 51mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   class class class wbr 4204   cmpt 4258  con0 4573  com 4837  ccnv 4869   cdm 4870   cres 4872  cima 4873   ccom 4874   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  crdg 6659   cen 7098  cfn 7101  ccrd 7814  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985  cn0 10213 This theorem is referenced by:  hashgval  11613  hashinf  11615  hashf  11617 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481
 Copyright terms: Public domain W3C validator