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Theorem hashmap 11690
Description: The size of the set exponential of two finite sets is the exponential of their sizes. (This is the original motivation behind the notation for set exponentiation.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashmap  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  ^m  B ) )  =  ( ( # `  A ) ^ ( # `
 B ) ) )

Proof of Theorem hashmap
Dummy variables  x  a  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
a  ^m  B )  =  ( A  ^m  B ) )
21fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( # `
 ( a  ^m  B ) )  =  ( # `  ( A  ^m  B ) ) )
3 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( # `
 a )  =  ( # `  A
) )
43oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( # `  a ) ^ ( # `  B
) )  =  ( ( # `  A
) ^ ( # `  B ) ) )
52, 4eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( # `  ( a  ^m  B ) )  =  ( ( # `  a ) ^ ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( A  ^m  B ) )  =  ( ( # `  A ) ^ ( # `
 B ) ) ) )
65imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( # `  (
a  ^m  B )
)  =  ( (
# `  a ) ^ ( # `  B
) ) )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `  ( A  ^m  B ) )  =  ( ( # `  A ) ^ ( # `
 B ) ) ) ) )
7 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( a  ^m  x )  =  ( a  ^m  (/) ) )
87fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( a  ^m  x
) )  =  (
# `  ( a  ^m  (/) ) ) )
9 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
109oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  a ) ^ ( # `  x
) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  (/) ) ) )
118, 10eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  ( a  ^m  x ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  x ) )  <->  ( # `  (
a  ^m  (/) ) )  =  ( ( # `  a ) ^ ( # `
 (/) ) ) ) )
1211imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( a  e.  Fin  ->  (
# `  ( a  ^m  x ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  x ) ) )  <-> 
( a  e.  Fin  ->  ( # `  (
a  ^m  (/) ) )  =  ( ( # `  a ) ^ ( # `
 (/) ) ) ) ) )
13 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
a  ^m  x )  =  ( a  ^m  y ) )
1413fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 ( a  ^m  x ) )  =  ( # `  (
a  ^m  y )
) )
15 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
1615oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  a ) ^ ( # `  x
) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  y ) ) )
1714, 16eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  ( a  ^m  x ) )  =  ( ( # `  a ) ^ ( # `
 x ) )  <-> 
( # `  ( a  ^m  y ) )  =  ( ( # `  a ) ^ ( # `
 y ) ) ) )
1817imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( a  e.  Fin  ->  ( # `  (
a  ^m  x )
)  =  ( (
# `  a ) ^ ( # `  x
) ) )  <->  ( a  e.  Fin  ->  ( # `  (
a  ^m  y )
)  =  ( (
# `  a ) ^ ( # `  y
) ) ) ) )
19 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( a  ^m  x )  =  ( a  ^m  ( y  u.  { z } ) ) )
2019fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
a  ^m  x )
)  =  ( # `  ( a  ^m  (
y  u.  { z } ) ) ) )
21 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )
2221oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  a ) ^ ( # `
 x ) )  =  ( ( # `  a ) ^ ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  ( a  ^m  x
) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  x ) )  <->  ( # `  (
a  ^m  ( y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) )
2423imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( a  e.  Fin  ->  ( # `
 ( a  ^m  x ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  x ) ) )  <-> 
( a  e.  Fin  ->  ( # `  (
a  ^m  ( y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) ) )
25 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
a  ^m  x )  =  ( a  ^m  B ) )
2625fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( # `
 ( a  ^m  x ) )  =  ( # `  (
a  ^m  B )
) )
27 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  B
) )
2827oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( # `  a ) ^ ( # `  x
) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  B ) ) )
2926, 28eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( # `  ( a  ^m  x ) )  =  ( ( # `  a ) ^ ( # `
 x ) )  <-> 
( # `  ( a  ^m  B ) )  =  ( ( # `  a ) ^ ( # `
 B ) ) ) )
3029imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( a  e.  Fin  ->  ( # `  (
a  ^m  x )
)  =  ( (
# `  a ) ^ ( # `  x
) ) )  <->  ( a  e.  Fin  ->  ( # `  (
a  ^m  B )
)  =  ( (
# `  a ) ^ ( # `  B
) ) ) ) )
31 hashcl 11631 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  Fin  ->  ( # `
 a )  e. 
NN0 )
3231nn0cnd 10268 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  Fin  ->  ( # `
 a )  e.  CC )
3332exp0d 11509 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  Fin  ->  (
( # `  a ) ^ 0 )  =  1 )
3433eqcomd 2440 . . . . . 6  |-  ( a  e.  Fin  ->  1  =  ( ( # `  a ) ^ 0 ) )
35 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
36 map0e 7043 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  ^m  (/) )  =  1o )
3735, 36ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( a  ^m  (/) )  =  1o
38 df1o2 6728 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  { (/) }
3937, 38eqtri 2455 . . . . . . . 8  |-  ( a  ^m  (/) )  =  { (/)
}
4039fveq2i 5723 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( a  ^m  (/) ) )  =  ( # `  { (/)
} )
41 0ex 4331 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
42 hashsng 11639 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( # `  { (/)
} )  =  1 )
4341, 42ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( # `  { (/) } )  =  1
4440, 43eqtri 2455 . . . . . 6  |-  ( # `  ( a  ^m  (/) ) )  =  1
45 hash0 11638 . . . . . . 7  |-  ( # `  (/) )  =  0
4645oveq2i 6084 . . . . . 6  |-  ( (
# `  a ) ^ ( # `  (/) ) )  =  ( ( # `  a ) ^ 0 )
4734, 44, 463eqtr4g 2492 . . . . 5  |-  ( a  e.  Fin  ->  ( # `
 ( a  ^m  (/) ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  (/) ) ) )
48 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( a  ^m  y ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  y ) )  -> 
( ( # `  (
a  ^m  y )
)  x.  ( # `  a ) )  =  ( ( ( # `  a ) ^ ( # `
 y ) )  x.  ( # `  a
) ) )
49 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
50 snex 4397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z }  e.  _V
5149, 50, 353pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  /\  {
z }  e.  _V  /\  a  e.  _V )
52 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  -.  z  e.  y )
53 disjsn 3860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
5452, 53sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
y  i^i  { z } )  =  (/) )
55 mapunen 7268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  _V  /\ 
{ z }  e.  _V  /\  a  e.  _V )  /\  ( y  i^i 
{ z } )  =  (/) )  ->  (
a  ^m  ( y  u.  { z } ) )  ~~  ( ( a  ^m  y )  X.  ( a  ^m  { z } ) ) )
5651, 54, 55sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
a  ^m  ( y  u.  { z } ) )  ~~  ( ( a  ^m  y )  X.  ( a  ^m  { z } ) ) )
57 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  a  e.  Fin )
58 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  y  e.  Fin )
59 snfi 7179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z }  e.  Fin
60 unfi 7366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
6158, 59, 60sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
62 mapfi 7395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )  ->  (
a  ^m  ( y  u.  { z } ) )  e.  Fin )
6357, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
a  ^m  ( y  u.  { z } ) )  e.  Fin )
64 mapfi 7395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( a  ^m  y
)  e.  Fin )
6564adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
a  ^m  y )  e.  Fin )
66 mapfi 7395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( a  ^m  { z } )  e. 
Fin )
6757, 59, 66sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
a  ^m  { z } )  e.  Fin )
68 xpfi 7370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  ^m  y
)  e.  Fin  /\  ( a  ^m  {
z } )  e. 
Fin )  ->  (
( a  ^m  y
)  X.  ( a  ^m  { z } ) )  e.  Fin )
6965, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( a  ^m  y
)  X.  ( a  ^m  { z } ) )  e.  Fin )
70 hashen 11623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  ^m  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin  /\  ( (
a  ^m  y )  X.  ( a  ^m  {
z } ) )  e.  Fin )  -> 
( ( # `  (
a  ^m  ( y  u.  { z } ) ) )  =  (
# `  ( (
a  ^m  y )  X.  ( a  ^m  {
z } ) ) )  <->  ( a  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
~~  ( ( a  ^m  y )  X.  ( a  ^m  {
z } ) ) ) )
7163, 69, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( a  ^m  ( y  u. 
{ z } ) ) )  =  (
# `  ( (
a  ^m  y )  X.  ( a  ^m  {
z } ) ) )  <->  ( a  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
~~  ( ( a  ^m  y )  X.  ( a  ^m  {
z } ) ) ) )
7256, 71mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( a  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  =  ( # `  ( ( a  ^m  y )  X.  (
a  ^m  { z } ) ) ) )
73 hashxp 11689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  ^m  y
)  e.  Fin  /\  ( a  ^m  {
z } )  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( ( a  ^m  y )  X.  ( a  ^m  {
z } ) ) )  =  ( (
# `  ( a  ^m  y ) )  x.  ( # `  (
a  ^m  { z } ) ) ) )
7465, 67, 73syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( ( a  ^m  y )  X.  ( a  ^m  {
z } ) ) )  =  ( (
# `  ( a  ^m  y ) )  x.  ( # `  (
a  ^m  { z } ) ) ) )
75 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
7635, 75mapsnen 7176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  ^m  { z } )  ~~  a
77 hashen 11623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  ^m  {
z } )  e. 
Fin  /\  a  e.  Fin )  ->  ( (
# `  ( a  ^m  { z } ) )  =  ( # `  a )  <->  ( a  ^m  { z } ) 
~~  a ) )
7867, 57, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( a  ^m  { z } ) )  =  (
# `  a )  <->  ( a  ^m  { z } )  ~~  a
) )
7976, 78mpbiri 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( a  ^m  { z } ) )  =  ( # `  a
) )
8079oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( a  ^m  y ) )  x.  ( # `  (
a  ^m  { z } ) ) )  =  ( ( # `  ( a  ^m  y
) )  x.  ( # `
 a ) ) )
8174, 80eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( ( a  ^m  y )  X.  ( a  ^m  {
z } ) ) )  =  ( (
# `  ( a  ^m  y ) )  x.  ( # `  a
) ) )
8272, 81eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( a  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  =  ( (
# `  ( a  ^m  y ) )  x.  ( # `  a
) ) )
83 hashunsng 11657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
8475, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
8584adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  =  ( (
# `  y )  +  1 ) )
8685oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  a ) ^ ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  a ) ^ (
( # `  y )  +  1 ) ) )
8732adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 a )  e.  CC )
88 hashcl 11631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
8988ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
9087, 89expp1d 11516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  a ) ^ ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  ( ( ( # `  a
) ^ ( # `  y ) )  x.  ( # `  a
) ) )
9186, 90eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  a ) ^ ( # `  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( (
# `  a ) ^ ( # `  y
) )  x.  ( # `
 a ) ) )
9282, 91eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( a  ^m  ( y  u. 
{ z } ) ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )  <->  ( ( # `  ( a  ^m  y
) )  x.  ( # `
 a ) )  =  ( ( (
# `  a ) ^ ( # `  y
) )  x.  ( # `
 a ) ) ) )
9348, 92syl5ibr 213 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  Fin  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y ) )  ->  (
( # `  ( a  ^m  y ) )  =  ( ( # `  a ) ^ ( # `
 y ) )  ->  ( # `  (
a  ^m  ( y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) )
9493expcom 425 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( a  e.  Fin  ->  ( ( # `
 ( a  ^m  y ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  y ) )  -> 
( # `  ( a  ^m  ( y  u. 
{ z } ) ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) ) )
9594a2d 24 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
a  e.  Fin  ->  (
# `  ( a  ^m  y ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  y ) ) )  ->  ( a  e. 
Fin  ->  ( # `  (
a  ^m  ( y  u.  { z } ) ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) ) ) ) )
9612, 18, 24, 30, 47, 95findcard2s 7341 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
a  e.  Fin  ->  (
# `  ( a  ^m  B ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  B ) ) ) )
9796com12 29 . . 3  |-  ( a  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 ( a  ^m  B ) )  =  ( ( # `  a
) ^ ( # `  B ) ) ) )
986, 97vtoclga 3009 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  ^m  B ) )  =  ( ( # `  A
) ^ ( # `  B ) ) ) )
9998imp 419 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  ^m  B ) )  =  ( ( # `  A ) ^ ( # `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    u. cun 3310    i^i cin 3311   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1oc1o 6709    ^m cmap 7010    ~~ cen 7098   Fincfn 7101   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   NN0cn0 10213   ^cexp 11374   #chash 11610
This theorem is referenced by:  hashpw  11691  prmreclem2  13277  birthdaylem2  20783
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611
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