MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnncl Structured version   Unicode version

Theorem hashnncl 11638
Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashnncl  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )

Proof of Theorem hashnncl
StepHypRef Expression
1 nnne0 10025 . . 3  |-  ( (
# `  A )  e.  NN  ->  ( # `  A
)  =/=  0 )
2 hashcl 11632 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
3 elnn0 10216 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  ( ( # `  A )  e.  NN  \/  ( # `  A
)  =  0 ) )
42, 3sylib 189 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  \/  ( # `
 A )  =  0 ) )
54ord 367 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  A
)  e.  NN  ->  (
# `  A )  =  0 ) )
65necon1ad 2666 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =/=  0  ->  ( # `
 A )  e.  NN ) )
71, 6impbid2 196 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
8 hasheq0 11637 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
98necon3bid 2634 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  (/) ) )
107, 9bitrd 245 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   (/)c0 3621   ` cfv 5447   Fincfn 7102   0cc0 8983   NNcn 9993   NN0cn0 10214   #chash 11611
This theorem is referenced by:  hashge1  11656  lennncl  11729  wrdind  11784  incexc  12610  incexc2  12611  ramub1  13389  gsumwmhm  14783  gexcl2  15216  sylow1lem3  15227  sylow1lem5  15229  pgpfi  15232  pgpfi2  15233  sylow2alem2  15245  sylow2blem3  15249  slwhash  15251  fislw  15252  sylow3lem3  15256  sylow3lem4  15257  efgsp1  15362  efgsres  15363  efgredlem  15372  lt6abl  15497  ablfacrp2  15618  ablfac1lem  15619  ablfac1b  15621  ablfac1c  15622  ablfac1eu  15624  pgpfac1lem2  15626  pgpfac1lem3a  15627  pgpfaclem2  15633  ablfaclem3  15638  lebnumlem3  18981  birthdaylem3  20785  birthday  20786  amgmlem  20821  amgm  20822  musum  20969  dchrabs  21037  dchrisum0flblem1  21195  derangfmla  24869  erdszelem2  24871  rrndstprj2  26532  rrncmslem  26533  rrnequiv  26536  isnumbasgrplem3  27239  psgnunilem5  27386  psgnunilem4  27389  frghash2spot  28390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-hash 11612
  Copyright terms: Public domain W3C validator