MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashp1i Unicode version

Theorem hashp1i 11385
Description: Size of a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashp1i.1  |-  A  e. 
om
hashp1i.2  |-  B  =  suc  A
hashp1i.3  |-  ( # `  A )  =  M
hashp1i.4  |-  ( M  +  1 )  =  N
Assertion
Ref Expression
hashp1i  |-  ( # `  B )  =  N

Proof of Theorem hashp1i
StepHypRef Expression
1 hashp1i.2 . . . 4  |-  B  =  suc  A
2 df-suc 4414 . . . 4  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
31, 2eqtri 2316 . . 3  |-  B  =  ( A  u.  { A } )
43fveq2i 5544 . 2  |-  ( # `  B )  =  (
# `  ( A  u.  { A } ) )
5 hashp1i.1 . . . . 5  |-  A  e. 
om
6 nnfi 7069 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
75, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  A  e. 
Fin
8 nnord 4680 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
9 ordirr 4426 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
105, 8, 9mp2b 9 . . . 4  |-  -.  A  e.  A
11 hashunsng 11383 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  e.  Fin  /\ 
-.  A  e.  A
)  ->  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
125, 11ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
137, 10, 12mp2an 653 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 )
14 hashp1i.3 . . . . 5  |-  ( # `  A )  =  M
1514oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  +  1 )  =  ( M  +  1 )
16 hashp1i.4 . . . 4  |-  ( M  +  1 )  =  N
1715, 16eqtri 2316 . . 3  |-  ( (
# `  A )  +  1 )  =  N
1813, 17eqtri 2316 . 2  |-  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  N
194, 18eqtri 2316 1  |-  ( # `  B )  =  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163   {csn 3653   Ord word 4407   suc csuc 4410   omcom 4672   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   1c1 8754    + caddc 8756   #chash 11353
This theorem is referenced by:  hash1  11386  hash2  11387  hash3  11388  hash4  11389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
  Copyright terms: Public domain W3C validator