MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashprg Structured version   Unicode version

Theorem hashprg 11658
Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
hashprg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  =/=  B  <->  (
# `  { A ,  B } )  =  2 ) )

Proof of Theorem hashprg
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  B  e.  V )
2 elsni 3830 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { A }  ->  B  =  A )
32eqcomd 2440 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { A }  ->  A  =  B )
43necon3ai 2638 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  ->  -.  B  e.  { A } )
5 snfi 7179 . . . . . 6  |-  { A }  e.  Fin
6 hashunsng 11657 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  V  ->  (
( { A }  e.  Fin  /\  -.  B  e.  { A } )  ->  ( # `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( # `  { A } )  +  1 ) ) )
76imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( { A }  e.  Fin  /\  -.  B  e. 
{ A } ) )  ->  ( # `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( # `  { A } )  +  1 ) )
85, 7mpanr1 665 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  -.  B  e.  { A } )  ->  ( # `
 ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( # `  { A } )  +  1 ) )
91, 4, 8syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( # `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( # `  { A } )  +  1 ) )
10 hashsng 11639 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( # `  { A } )  =  1 )
1211adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( # `  { A } )  =  1 )
1312oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( ( # `
 { A }
)  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
149, 13eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( # `  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( 1  +  1 ) )
15 df-pr 3813 . . . 4  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1615fveq2i 5723 . . 3  |-  ( # `  { A ,  B } )  =  (
# `  ( { A }  u.  { B } ) )
17 df-2 10050 . . 3  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1814, 16, 173eqtr4g 2492 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( # `  { A ,  B }
)  =  2 )
19 1ne2 10179 . . . . . . 7  |-  1  =/=  2
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  1  =/=  2 )
2111, 20eqnetrd 2616 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( # `  { A } )  =/=  2
)
22 dfsn2 3820 . . . . . . . 8  |-  { A }  =  { A ,  A }
23 preq2 3876 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
2422, 23syl5req 2480 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { A } )
2524fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( # `
 { A ,  B } )  =  (
# `  { A } ) )
2625neeq1d 2611 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
( # `  { A ,  B } )  =/=  2  <->  ( # `  { A } )  =/=  2
) )
2721, 26syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  =  B  ->  ( # `  { A ,  B }
)  =/=  2 ) )
2827necon2d 2648 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( # `  { A ,  B }
)  =  2  ->  A  =/=  B ) )
2928imp 419 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  ( # `  { A ,  B }
)  =  2 )  ->  A  =/=  B
)
3018, 29impbida 806 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  =/=  B  <->  (
# `  { A ,  B } )  =  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    u. cun 3310   {csn 3806   {cpr 3807   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   1c1 8983    + caddc 8985   2c2 10041   #chash 11610
This theorem is referenced by:  hashprb  11660  hash2prb  11681  hashtpg  11683  hashfun  11692  prmreclem2  13277  dchrisum0re  21199  umgraex  21350  usgra1  21385  usgranloopv  21390  usgraexmpl  21412  cusgraexi  21469  cusgrafilem1  21480  2trllemA  21542  2pthon  21594  2pthon3v  21596  eupath  21695  konigsberg  21701  coinflipprob  24729  subfacp1lem1  24857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611
  Copyright terms: Public domain W3C validator