MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Unicode version

Theorem hashpw 11662
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A
) ) )

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3770 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
21fveq2d 5699 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( # `  ~P A ) )
3 fveq2 5695 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
43oveq2d 6064 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
2 ^ ( # `  x ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 A ) ) )
52, 4eqeq12d 2426 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  ~P x
)  =  ( 2 ^ ( # `  x
) )  <->  ( # `  ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A ) ) ) )
6 vex 2927 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
76pw2en 7182 . . . 4  |-  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
)
8 pwfi 7368 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Fin )
98biimpi 187 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  ->  ~P x  e.  Fin )
10 df2o2 6705 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
11 prfi 7348 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  Fin
1210, 11eqeltri 2482 . . . . . 6  |-  2o  e.  Fin
13 mapfi 7369 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  ( 2o  ^m  x
)  e.  Fin )
1412, 13mpan 652 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( 2o  ^m  x )  e. 
Fin )
15 hashen 11594 . . . . 5  |-  ( ( ~P x  e.  Fin  /\  ( 2o  ^m  x
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ~P x )  =  (
# `  ( 2o  ^m  x ) )  <->  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
) ) )
169, 14, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( # `  ~P x
)  =  ( # `  ( 2o  ^m  x
) )  <->  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
) ) )
177, 16mpbiri 225 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( # `  ( 2o  ^m  x ) ) )
18 hashmap 11661 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  ( # `  ( 2o  ^m  x ) )  =  ( ( # `  2o ) ^ ( # `
 x ) ) )
1912, 18mpan 652 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 2o  ^m  x ) )  =  ( ( # `  2o ) ^ ( # `  x
) ) )
20 hash2 11637 . . . . 5  |-  ( # `  2o )  =  2
2120oveq1i 6058 . . . 4  |-  ( (
# `  2o ) ^ ( # `  x
) )  =  ( 2 ^ ( # `  x ) )
2219, 21syl6eq 2460 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 2o  ^m  x ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 x ) ) )
2317, 22eqtrd 2444 . 2  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( 2 ^ ( # `  x
) ) )
245, 23vtoclga 2985 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   (/)c0 3596   ~Pcpw 3767   {csn 3782   {cpr 3783   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   2oc2o 6685    ^m cmap 6985    ~~ cen 7073   Fincfn 7076   2c2 10013   ^cexp 11345   #chash 11581
This theorem is referenced by:  ackbijnn  12570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582
  Copyright terms: Public domain W3C validator