MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Unicode version

Theorem hashpw 11404
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A
) ) )

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3641 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
21fveq2d 5545 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( # `  ~P A ) )
3 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
43oveq2d 5890 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
2 ^ ( # `  x ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 A ) ) )
52, 4eqeq12d 2310 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  ~P x
)  =  ( 2 ^ ( # `  x
) )  <->  ( # `  ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A ) ) ) )
6 vex 2804 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
76pw2en 6985 . . . 4  |-  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
)
8 pwfi 7167 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Fin )
98biimpi 186 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  ->  ~P x  e.  Fin )
10 df2o2 6509 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
11 prfi 7147 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  Fin
1210, 11eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  2o  e.  Fin
13 mapfi 7168 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  ( 2o  ^m  x
)  e.  Fin )
1412, 13mpan 651 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( 2o  ^m  x )  e. 
Fin )
15 hashen 11362 . . . . 5  |-  ( ( ~P x  e.  Fin  /\  ( 2o  ^m  x
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ~P x )  =  (
# `  ( 2o  ^m  x ) )  <->  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
) ) )
169, 14, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( # `  ~P x
)  =  ( # `  ( 2o  ^m  x
) )  <->  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
) ) )
177, 16mpbiri 224 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( # `  ( 2o  ^m  x ) ) )
18 hashmap 11403 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  ( # `  ( 2o  ^m  x ) )  =  ( ( # `  2o ) ^ ( # `
 x ) ) )
1912, 18mpan 651 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 2o  ^m  x ) )  =  ( ( # `  2o ) ^ ( # `  x
) ) )
20 hash2 11387 . . . . 5  |-  ( # `  2o )  =  2
2120oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( (
# `  2o ) ^ ( # `  x
) )  =  ( 2 ^ ( # `  x ) )
2219, 21syl6eq 2344 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 2o  ^m  x ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 x ) ) )
2317, 22eqtrd 2328 . 2  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( 2 ^ ( # `  x
) ) )
245, 23vtoclga 2862 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   2oc2o 6489    ^m cmap 6788    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   2c2 9811   ^cexp 11120   #chash 11353
This theorem is referenced by:  ackbijnn  12302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354
  Copyright terms: Public domain W3C validator