MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Structured version   Unicode version

Theorem hashpw 11704
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A
) ) )

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3804 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
21fveq2d 5735 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( # `  ~P A ) )
3 fveq2 5731 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
43oveq2d 6100 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
2 ^ ( # `  x ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 A ) ) )
52, 4eqeq12d 2452 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  ~P x
)  =  ( 2 ^ ( # `  x
) )  <->  ( # `  ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A ) ) ) )
6 vex 2961 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
76pw2en 7218 . . . 4  |-  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
)
8 pwfi 7405 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Fin )
98biimpi 188 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  ->  ~P x  e.  Fin )
10 df2o2 6741 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
11 prfi 7384 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  Fin
1210, 11eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  2o  e.  Fin
13 mapfi 7406 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  ( 2o  ^m  x
)  e.  Fin )
1412, 13mpan 653 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( 2o  ^m  x )  e. 
Fin )
15 hashen 11636 . . . . 5  |-  ( ( ~P x  e.  Fin  /\  ( 2o  ^m  x
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ~P x )  =  (
# `  ( 2o  ^m  x ) )  <->  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
) ) )
169, 14, 15syl2anc 644 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( # `  ~P x
)  =  ( # `  ( 2o  ^m  x
) )  <->  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
) ) )
177, 16mpbiri 226 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( # `  ( 2o  ^m  x ) ) )
18 hashmap 11703 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  ( # `  ( 2o  ^m  x ) )  =  ( ( # `  2o ) ^ ( # `
 x ) ) )
1912, 18mpan 653 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 2o  ^m  x ) )  =  ( ( # `  2o ) ^ ( # `  x
) ) )
20 hash2 11679 . . . . 5  |-  ( # `  2o )  =  2
2120oveq1i 6094 . . . 4  |-  ( (
# `  2o ) ^ ( # `  x
) )  =  ( 2 ^ ( # `  x ) )
2219, 21syl6eq 2486 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 2o  ^m  x ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 x ) ) )
2317, 22eqtrd 2470 . 2  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( 2 ^ ( # `  x
) ) )
245, 23vtoclga 3019 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   {cpr 3817   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   2oc2o 6721    ^m cmap 7021    ~~ cen 7109   Fincfn 7112   2c2 10054   ^cexp 11387   #chash 11623
This theorem is referenced by:  ackbijnn  12612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624
  Copyright terms: Public domain W3C validator