MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsslei Unicode version

Theorem hashsslei 11644
Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Transfer boundedness to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashsslei.b  |-  B  C_  A
hashsslei.a  |-  ( A  e.  Fin  /\  ( # `
 A )  <_  N )
hashsslei.n  |-  N  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
hashsslei  |-  ( B  e.  Fin  /\  ( # `
 B )  <_  N )

Proof of Theorem hashsslei
StepHypRef Expression
1 hashsslei.a . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  /\  ( # `
 A )  <_  N )
21simpli 445 . . 3  |-  A  e. 
Fin
3 hashsslei.b . . 3  |-  B  C_  A
4 ssfi 7292 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 654 . 2  |-  B  e. 
Fin
6 ssdomg 7116 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
72, 3, 6mp2 9 . . . 4  |-  B  ~<_  A
8 hashdom 11612 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  <_  ( # `  A
)  <->  B  ~<_  A )
)
95, 2, 8mp2an 654 . . . 4  |-  ( (
# `  B )  <_  ( # `  A
)  <->  B  ~<_  A )
107, 9mpbir 201 . . 3  |-  ( # `  B )  <_  ( # `
 A )
111simpri 449 . . 3  |-  ( # `  A )  <_  N
12 hashcl 11598 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
135, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( # `  B )  e.  NN0
1413nn0rei 10192 . . . 4  |-  ( # `  B )  e.  RR
15 hashcl 11598 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
162, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( # `  A )  e.  NN0
1716nn0rei 10192 . . . 4  |-  ( # `  A )  e.  RR
18 hashsslei.n . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
1918nn0rei 10192 . . . 4  |-  N  e.  RR
2014, 17, 19letri 9162 . . 3  |-  ( ( ( # `  B
)  <_  ( # `  A
)  /\  ( # `  A
)  <_  N )  ->  ( # `  B
)  <_  N )
2110, 11, 20mp2an 654 . 2  |-  ( # `  B )  <_  N
225, 21pm3.2i 442 1  |-  ( B  e.  Fin  /\  ( # `
 B )  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   ` cfv 5417    ~<_ cdom 7070   Fincfn 7072    <_ cle 9081   NN0cn0 10181   #chash 11577
This theorem is referenced by:  kur14lem9  24857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-hash 11578
  Copyright terms: Public domain W3C validator