MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsslei Structured version   Unicode version

Theorem hashsslei 11690
Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Transfer boundedness to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashsslei.b  |-  B  C_  A
hashsslei.a  |-  ( A  e.  Fin  /\  ( # `
 A )  <_  N )
hashsslei.n  |-  N  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
hashsslei  |-  ( B  e.  Fin  /\  ( # `
 B )  <_  N )

Proof of Theorem hashsslei
StepHypRef Expression
1 hashsslei.a . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  /\  ( # `
 A )  <_  N )
21simpli 446 . . 3  |-  A  e. 
Fin
3 hashsslei.b . . 3  |-  B  C_  A
4 ssfi 7332 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 655 . 2  |-  B  e. 
Fin
6 ssdomg 7156 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
72, 3, 6mp2 9 . . . 4  |-  B  ~<_  A
8 hashdom 11658 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  <_  ( # `  A
)  <->  B  ~<_  A )
)
95, 2, 8mp2an 655 . . . 4  |-  ( (
# `  B )  <_  ( # `  A
)  <->  B  ~<_  A )
107, 9mpbir 202 . . 3  |-  ( # `  B )  <_  ( # `
 A )
111simpri 450 . . 3  |-  ( # `  A )  <_  N
12 hashcl 11644 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
135, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  B )  e.  NN0
1413nn0rei 10237 . . . 4  |-  ( # `  B )  e.  RR
15 hashcl 11644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
162, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  A )  e.  NN0
1716nn0rei 10237 . . . 4  |-  ( # `  A )  e.  RR
18 hashsslei.n . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
1918nn0rei 10237 . . . 4  |-  N  e.  RR
2014, 17, 19letri 9207 . . 3  |-  ( ( ( # `  B
)  <_  ( # `  A
)  /\  ( # `  A
)  <_  N )  ->  ( # `  B
)  <_  N )
2110, 11, 20mp2an 655 . 2  |-  ( # `  B )  <_  N
225, 21pm3.2i 443 1  |-  ( B  e.  Fin  /\  ( # `
 B )  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   ` cfv 5457    ~<_ cdom 7110   Fincfn 7112    <_ cle 9126   NN0cn0 10226   #chash 11623
This theorem is referenced by:  kur14lem9  24905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624
  Copyright terms: Public domain W3C validator