MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun2 Unicode version

Theorem hashun2 11365
Description: The size of the union of finite sets is less than or equal to the sum of their sizes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashun2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )

Proof of Theorem hashun2
StepHypRef Expression
1 undif2 3530 . . . 4  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
21fveq2i 5528 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( # `  ( A  u.  B
) )
3 diffi 7089 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  A )  e. 
Fin )
4 disjdif 3526 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
5 hashun 11364 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
64, 5mp3an3 1266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
73, 6sylan2 460 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
82, 7syl5eqr 2329 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
93adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  e.  Fin )
10 hashcl 11350 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( B  \  A ) )  e. 
NN0 )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  NN0 )
1211nn0red 10019 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  RR )
13 hashcl 11350 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1413adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
1514nn0red 10019 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
16 hashcl 11350 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
1716adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
1817nn0red 10019 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
19 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
20 difss 3303 . . . . 5  |-  ( B 
\  A )  C_  B
21 ssdomg 6907 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( B  \  A
)  C_  B  ->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
2219, 20, 21ee10 1366 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  ~<_  B )
23 hashdom 11361 . . . . 5  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
249, 23sylancom 648 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
2522, 24mpbird 223 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
) )
2612, 15, 18, 25leadd2dd 9387 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( B  \  A
) ) )  <_ 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
278, 26eqbrtrd 4043 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863    + caddc 8740    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   #chash 11337
This theorem is referenced by:  hashunlei  11377  hashfun  11389  prmreclem4  12966  fta1glem2  19552  fta1lem  19687  vieta1lem2  19691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator