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Theorem hashun2 11657
Description: The size of the union of finite sets is less than or equal to the sum of their sizes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashun2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )

Proof of Theorem hashun2
StepHypRef Expression
1 undif2 3704 . . . 4  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
21fveq2i 5731 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( # `  ( A  u.  B
) )
3 diffi 7339 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  A )  e. 
Fin )
4 disjdif 3700 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
5 hashun 11656 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
64, 5mp3an3 1268 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
73, 6sylan2 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
82, 7syl5eqr 2482 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
93adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  e.  Fin )
10 hashcl 11639 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( B  \  A ) )  e. 
NN0 )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  NN0 )
1211nn0red 10275 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  RR )
13 hashcl 11639 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1413adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
1514nn0red 10275 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
16 hashcl 11639 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
1716adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
1817nn0red 10275 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
19 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
20 difss 3474 . . . . 5  |-  ( B 
\  A )  C_  B
21 ssdomg 7153 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( B  \  A
)  C_  B  ->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
2219, 20, 21ee10 1385 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  ~<_  B )
23 hashdom 11653 . . . . 5  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
249, 23sylancom 649 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
2522, 24mpbird 224 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
) )
2612, 15, 18, 25leadd2dd 9641 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( B  \  A
) ) )  <_ 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
278, 26eqbrtrd 4232 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~<_ cdom 7107   Fincfn 7109    + caddc 8993    <_ cle 9121   NN0cn0 10221   #chash 11618
This theorem is referenced by:  hashunlei  11684  hashfun  11700  prmreclem4  13287  fta1glem2  20089  fta1lem  20224  vieta1lem2  20228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619
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