Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun3 Structured version   Unicode version

Theorem hashun3 11689
 Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 7368 . . . . . . 7
21adantl 454 . . . . . 6
3 simpl 445 . . . . . . 7
4 inss1 3546 . . . . . . 7
5 ssfi 7358 . . . . . . 7
63, 4, 5sylancl 645 . . . . . 6
7 sslin 3552 . . . . . . . . 9
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8
9 incom 3519 . . . . . . . . 9
10 disjdif 3724 . . . . . . . . 9
119, 10eqtri 2462 . . . . . . . 8
12 sseq0 3644 . . . . . . . 8
138, 11, 12mp2an 655 . . . . . . 7
1413a1i 11 . . . . . 6
15 hashun 11687 . . . . . 6
162, 6, 14, 15syl3anc 1185 . . . . 5
17 incom 3519 . . . . . . . . 9
1817uneq2i 3484 . . . . . . . 8
19 uncom 3477 . . . . . . . 8
20 inundif 3730 . . . . . . . 8
2118, 19, 203eqtri 2466 . . . . . . 7
2221a1i 11 . . . . . 6
2322fveq2d 5761 . . . . 5
2416, 23eqtr3d 2476 . . . 4
25 hashcl 11670 . . . . . . 7
2625adantl 454 . . . . . 6
2726nn0cnd 10307 . . . . 5
28 hashcl 11670 . . . . . . 7
296, 28syl 16 . . . . . 6
3029nn0cnd 10307 . . . . 5
31 hashcl 11670 . . . . . . 7
322, 31syl 16 . . . . . 6
3332nn0cnd 10307 . . . . 5
3427, 30, 33subadd2d 9461 . . . 4
3524, 34mpbird 225 . . 3
3635oveq2d 6126 . 2
37 hashcl 11670 . . . . 5
3837adantr 453 . . . 4
3938nn0cnd 10307 . . 3
4039, 27, 30addsubassd 9462 . 2
41 undif2 3728 . . . 4
4241fveq2i 5760 . . 3
4310a1i 11 . . . 4
44 hashun 11687 . . . 4
453, 2, 43, 44syl3anc 1185 . . 3
4642, 45syl5eqr 2488 . 2
4736, 40, 463eqtr4rd 2485 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1727   cdif 3303   cun 3304   cin 3305   wss 3306  c0 3613  cfv 5483  (class class class)co 6110  cfn 7138   caddc 9024   cmin 9322  cn0 10252  chash 11649 This theorem is referenced by:  incexclem  12647 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-hash 11650
 Copyright terms: Public domain W3C validator