MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun3 Unicode version

Theorem hashun3 11617
Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  -  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) )

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 7302 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  A )  e. 
Fin )
21adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  e.  Fin )
3 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
4 inss1 3525 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
5 ssfi 7292 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  A )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  Fin )
63, 4, 5sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )
7 sslin 3531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  A  ->  (
( B  \  A
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( B  \  A )  i^i  A
) )
84, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A )  i^i  ( A  i^i  B ) )  C_  (
( B  \  A
)  i^i  A )
9 incom 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  \  A )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( B  \  A ) )
10 disjdif 3664 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
119, 10eqtri 2428 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A )  i^i  A )  =  (/)
12 sseq0 3623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  \  A )  i^i  ( A  i^i  B ) ) 
C_  ( ( B 
\  A )  i^i 
A )  /\  (
( B  \  A
)  i^i  A )  =  (/) )  ->  (
( B  \  A
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )
138, 11, 12mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  A )  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/)
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( B  \  A )  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )
15 hashun 11615 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  (
( B  \  A
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( B  \  A )  u.  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( (
# `  ( B  \  A ) )  +  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) )
162, 6, 14, 15syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( B  \  A
)  u.  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( (
# `  ( B  \  A ) )  +  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) )
17 incom 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
1817uneq2i 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A )  u.  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( B  \  A
)  u.  ( B  i^i  A ) )
19 uncom 3455 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A )  u.  ( B  i^i  A ) )  =  ( ( B  i^i  A
)  u.  ( B 
\  A ) )
20 inundif 3670 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
2118, 19, 203eqtri 2432 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  A )  u.  ( A  i^i  B ) )  =  B
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( B  \  A )  u.  ( A  i^i  B ) )  =  B )
2322fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( B  \  A
)  u.  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( # `  B ) )
2416, 23eqtr3d 2442 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  +  ( # `  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( # `  B ) )
25 hashcl 11598 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
2625adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
2726nn0cnd 10236 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
28 hashcl 11598 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  i^i  B ) )  e.  NN0 )
296, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  i^i  B ) )  e.  NN0 )
3029nn0cnd 10236 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  i^i  B ) )  e.  CC )
31 hashcl 11598 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  A )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( B  \  A ) )  e. 
NN0 )
322, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10236 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  CC )
3427, 30, 33subadd2d 9390 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 ( A  i^i  B ) ) )  =  ( # `  ( B  \  A ) )  <-> 
( ( # `  ( B  \  A ) )  +  ( # `  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( # `  B ) ) )
3524, 34mpbird 224 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( A  i^i  B
) ) )  =  ( # `  ( B  \  A ) ) )
3635oveq2d 6060 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( (
# `  B )  -  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( B  \  A
) ) ) )
37 hashcl 11598 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
3837adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
3938nn0cnd 10236 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  CC )
4039, 27, 30addsubassd 9391 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
)  -  ( # `  ( A  i^i  B
) ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( (
# `  B )  -  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
41 undif2 3668 . . . 4  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
4241fveq2i 5694 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( # `  ( A  u.  B
) )
4310a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )
44 hashun 11615 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
453, 2, 43, 44syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
4642, 45syl5eqr 2454 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
4736, 40, 463eqtr4rd 2451 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  -  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3281    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   (/)c0 3592   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Fincfn 7072    + caddc 8953    - cmin 9251   NN0cn0 10181   #chash 11577
This theorem is referenced by:  incexclem  12575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-hash 11578
  Copyright terms: Public domain W3C validator