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Theorem hashxplem 11651
Description: Lemma for hashxp 11652. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1  |-  B  e. 
Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4851 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21fveq2d 5691 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( x  X.  B
) )  =  (
# `  ( (/)  X.  B
) ) )
3 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
43oveq1d 6055 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `  B
) ) )
52, 4eqeq12d 2418 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x
)  x.  ( # `  B ) )  <->  ( # `  ( (/) 
X.  B ) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
6 xpeq1 4851 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
76fveq2d 5691 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 ( x  X.  B ) )  =  ( # `  (
y  X.  B ) ) )
8 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
98oveq1d 6055 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2418 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
11 xpeq1 4851 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  u.  {
z } )  X.  B ) )
1211fveq2d 5691 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
x  X.  B ) )  =  ( # `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  B ) ) )
13 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )
1413oveq1d 6055 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  =  ( ( # `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( # `  B
) ) )
1512, 14eqeq12d 2418 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  ( x  X.  B
) )  =  ( ( # `  x
)  x.  ( # `  B ) )  <->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) ) )
16 xpeq1 4851 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1716fveq2d 5691 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ( x  X.  B ) )  =  ( # `  ( A  X.  B ) ) )
18 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
1918oveq1d 6055 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )
2017, 19eqeq12d 2418 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
21 hashxplem.1 . . . 4  |-  B  e. 
Fin
22 hashcl 11594 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
2322nn0cnd 10232 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e.  CC )
2423mul02d 9220 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
0  x.  ( # `  B ) )  =  0 )
2521, 24ax-mp 8 . . 3  |-  ( 0  x.  ( # `  B
) )  =  0
26 hash0 11601 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2726oveq1i 6050 . . 3  |-  ( (
# `  (/) )  x.  ( # `  B
) )  =  ( 0  x.  ( # `  B ) )
28 xp0r 4915 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
2928fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  (
# `  (/) )
3029, 26eqtri 2424 . . 3  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  0
3125, 27, 303eqtr4ri 2435 . 2  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `  B
) )
32 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  -> 
( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) )  +  ( # `  B
) ) )
3332adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  B )
)  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
34 xpundir 4890 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
)  =  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) )
3534fveq2i 5690 . . . . . 6  |-  ( # `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  B ) )  =  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )
36 xpfi 7337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
3721, 36mpan2 653 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin )
38 inxp 4966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  ( ( y  i^i  { z } )  X.  ( B  i^i  B ) )
39 disjsn 3828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4039biimpri 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
4140xpeq1d 4860 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (
(/)  X.  ( B  i^i  B ) ) )
42 xp0r 4915 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  X.  ( B  i^i  B
) )  =  (/)
4341, 42syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (/) )
4438, 43syl5eq 2448 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
45 snfi 7146 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
46 xpfi 7337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4745, 21, 46mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  X.  B
)  e.  Fin
48 hashun 11611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( { z }  X.  B )  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
4947, 48mp3an2 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
5037, 44, 49syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  ( { z }  X.  B ) ) ) )
51 snex 4365 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  _V
5221elexi 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
5351, 52xpcomen 7158 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z }  X.  B
)  ~~  ( B  X.  { z } )
54 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
5552, 54xpsnen 7151 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  { z } )  ~~  B
5653, 55entri 7120 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  X.  B
)  ~~  B
57 hashen 11586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( (
# `  ( {
z }  X.  B
) )  =  (
# `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
) )
5847, 21, 57mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( {
z }  X.  B
) )  =  (
# `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
)
5956, 58mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( # `  B
)
6059oveq2i 6051 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( y  X.  B ) )  +  ( # `  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  B )
)
6150, 60syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
6235, 61syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
6362adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
64 hashunsng 11620 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
6554, 64ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
6665oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  x.  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B ) ) )
67 hashcl 11594 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
6867nn0cnd 10232 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e.  CC )
69 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
70 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
7121, 22, 70mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  B )  e.  CC
72 adddir 9039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( # `
 B )  e.  CC )  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7369, 71, 72mp3an23 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  y )  e.  CC  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7468, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7571mulid2i 9049 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  ( # `  B
) )  =  (
# `  B )
7675oveq2i 6051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) )
7774, 76syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
7877adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
7966, 78eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  x.  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) )  +  ( # `  B
) ) )
8079adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( ( # `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
8133, 63, 803eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) )
8281ex 424 . 2  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  -> 
( # `  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) ) )
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 7308 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   NN0cn0 10177   #chash 11573
This theorem is referenced by:  hashxp  11652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574
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