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Theorem hashxplem 11583
Description: Lemma for hashxp 11584. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1  |-  B  e. 
Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4806 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21fveq2d 5636 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( x  X.  B
) )  =  (
# `  ( (/)  X.  B
) ) )
3 fveq2 5632 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
43oveq1d 5996 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `  B
) ) )
52, 4eqeq12d 2380 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x
)  x.  ( # `  B ) )  <->  ( # `  ( (/) 
X.  B ) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
6 xpeq1 4806 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
76fveq2d 5636 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 ( x  X.  B ) )  =  ( # `  (
y  X.  B ) ) )
8 fveq2 5632 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
98oveq1d 5996 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2380 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
11 xpeq1 4806 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  u.  {
z } )  X.  B ) )
1211fveq2d 5636 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
x  X.  B ) )  =  ( # `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  B ) ) )
13 fveq2 5632 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )
1413oveq1d 5996 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  =  ( ( # `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( # `  B
) ) )
1512, 14eqeq12d 2380 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  ( x  X.  B
) )  =  ( ( # `  x
)  x.  ( # `  B ) )  <->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) ) )
16 xpeq1 4806 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1716fveq2d 5636 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ( x  X.  B ) )  =  ( # `  ( A  X.  B ) ) )
18 fveq2 5632 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
1918oveq1d 5996 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )
2017, 19eqeq12d 2380 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
21 hashxplem.1 . . . 4  |-  B  e. 
Fin
22 hashcl 11526 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
2322nn0cnd 10169 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e.  CC )
2423mul02d 9157 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
0  x.  ( # `  B ) )  =  0 )
2521, 24ax-mp 8 . . 3  |-  ( 0  x.  ( # `  B
) )  =  0
26 hash0 11533 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2726oveq1i 5991 . . 3  |-  ( (
# `  (/) )  x.  ( # `  B
) )  =  ( 0  x.  ( # `  B ) )
28 xp0r 4871 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
2928fveq2i 5635 . . . 4  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  (
# `  (/) )
3029, 26eqtri 2386 . . 3  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  0
3125, 27, 303eqtr4ri 2397 . 2  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `  B
) )
32 oveq1 5988 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  -> 
( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) )  +  ( # `  B
) ) )
3332adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  B )
)  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
34 xpundir 4845 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
)  =  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) )
3534fveq2i 5635 . . . . . 6  |-  ( # `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  B ) )  =  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )
36 xpfi 7275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
3721, 36mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin )
38 inxp 4921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  ( ( y  i^i  { z } )  X.  ( B  i^i  B ) )
39 disjsn 3783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4039biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
4140xpeq1d 4815 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (
(/)  X.  ( B  i^i  B ) ) )
42 xp0r 4871 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  X.  ( B  i^i  B
) )  =  (/)
4341, 42syl6eq 2414 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (/) )
4438, 43syl5eq 2410 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
45 snfi 7084 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
46 xpfi 7275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4745, 21, 46mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  X.  B
)  e.  Fin
48 hashun 11543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( { z }  X.  B )  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
4947, 48mp3an2 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
5037, 44, 49syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  ( { z }  X.  B ) ) ) )
51 snex 4318 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  _V
5221elexi 2882 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
5351, 52xpcomen 7096 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z }  X.  B
)  ~~  ( B  X.  { z } )
54 vex 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
5552, 54xpsnen 7089 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  { z } )  ~~  B
5653, 55entri 7058 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  X.  B
)  ~~  B
57 hashen 11518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( (
# `  ( {
z }  X.  B
) )  =  (
# `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
) )
5847, 21, 57mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( {
z }  X.  B
) )  =  (
# `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
)
5956, 58mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( # `  B
)
6059oveq2i 5992 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( y  X.  B ) )  +  ( # `  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  B )
)
6150, 60syl6eq 2414 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
6235, 61syl5eq 2410 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
6362adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
64 hashunsng 11552 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
6554, 64ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
6665oveq1d 5996 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  x.  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B ) ) )
67 hashcl 11526 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
6867nn0cnd 10169 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e.  CC )
69 ax-1cn 8942 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
70 nn0cn 10124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
7121, 22, 70mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  B )  e.  CC
72 adddir 8977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( # `
 B )  e.  CC )  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7369, 71, 72mp3an23 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  y )  e.  CC  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7468, 73syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7571mulid2i 8987 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  ( # `  B
) )  =  (
# `  B )
7675oveq2i 5992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) )
7774, 76syl6eq 2414 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
7877adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
7966, 78eqtrd 2398 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  x.  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) )  +  ( # `  B
) ) )
8079adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( ( # `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
8133, 63, 803eqtr4d 2408 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) )
8281ex 423 . 2  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  -> 
( # `  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) ) )
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 7246 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873    u. cun 3236    i^i cin 3237   (/)c0 3543   {csn 3729   class class class wbr 4125    X. cxp 4790   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ~~ cen 7003   Fincfn 7006   CCcc 8882   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889   NN0cn0 10114   #chash 11505
This theorem is referenced by:  hashxp  11584
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-hash 11506
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