MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashxrcl Structured version   Unicode version

Theorem hashxrcl 11630
Description: Extended real closure of the  # function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashxrcl  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )

Proof of Theorem hashxrcl
StepHypRef Expression
1 nn0ssre 10215 . . . 4  |-  NN0  C_  RR
2 ressxr 9119 . . . 4  |-  RR  C_  RR*
31, 2sstri 3349 . . 3  |-  NN0  C_  RR*
4 pnfxr 10703 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
5 snssi 3934 . . . 4  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  {  +oo }  C_ 
RR* )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  {  +oo } 
C_  RR*
73, 6unssi 3514 . 2  |-  ( NN0 
u.  {  +oo } ) 
C_  RR*
8 elex 2956 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
9 hashf 11615 . . . 4  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  {  +oo } )
109ffvelrni 5861 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 A )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } ) )
118, 10syl 16 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } ) )
127, 11sseldi 3338 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446   RRcr 8979    +oocpnf 9107   RR*cxr 9109   NN0cn0 10211   #chash 11608
This theorem is referenced by:  hashdom  11643  hashinfxadd  11649  hashunx  11650  hashgt0  11652  hashle00  11659  hashgt0elex  11660  hashgt12el  11672  hashgt12el2  11673  ramtlecl  13358  0ram  13378  sizeusglecusg  21485  vdgrf  21659  vdgrun  21662  vdusgraval  21668  esumcst  24445  esumpinfval  24453  idomodle  27444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-hash 11609
  Copyright terms: Public domain W3C validator