HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hatomistici Structured version   Unicode version

Theorem hatomistici 23857
Description:  CH is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hatomistic.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
hatomistici  |-  A  =  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem hatomistici
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3420 . . . . 5  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ HAtoms
2 atssch 23838 . . . . 5  |- HAtoms  C_  CH
31, 2sstri 3349 . . . 4  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH
4 chsupcl 22834 . . . 4  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH  ->  ( 
\/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  e.  CH )
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  e.  CH
6 hatomistic.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
76chshii 22722 . . 3  |-  A  e.  SH
8 atelch 23839 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  y  e.  CH )
98anim1i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  (
y  e.  CH  /\  y  C_  A ) )
10 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
1110elrab 3084 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  <->  ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A ) )
1210elrab 3084 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }  <->  ( y  e. 
CH  /\  y  C_  A ) )
139, 11, 123imtr4i 258 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  y  e.  { x  e.  CH  |  x  C_  A } )
1413ssriv 3344 . . . . 5  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }
15 ssrab2 3420 . . . . . 6  |-  { x  e.  CH  |  x  C_  A }  C_  CH
16 chsupss 22836 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  CH 
/\  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }  C_  CH )  ->  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ 
{ x  e.  CH  |  x  C_  A }  ->  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  C_  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
) ) )
173, 15, 16mp2an 654 . . . . 5  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e.  CH  |  x  C_  A }  ->  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  (  \/H  `  {
x  e.  CH  |  x  C_  A } ) )
1814, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  (  \/H  `  {
x  e.  CH  |  x  C_  A } )
19 chsupid 22906 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  ->  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
)  =  A )
206, 19ax-mp 8 . . . 4  |-  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
)  =  A
2118, 20sseqtri 3372 . . 3  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  A
22 elssuni 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  y  C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
2311, 22sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  y  C_ 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)
24 chsupunss 22838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH  ->  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
253, 24ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
2623, 25syl6ss 3352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
2726ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  A  ->  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )
28 atne0 23840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e. HAtoms  ->  y  =/=  0H )
2928adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
y  =/=  0H )
30 ssin 3555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  <->  y  C_  (
(  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
315chocini 22948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
\/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  =  0H
3231sseq2i 3365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  C_  0H )
3330, 32bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  0H  <->  ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
34 chle0 22937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CH  ->  (
y  C_  0H  <->  y  =  0H ) )
358, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  0H 
<->  y  =  0H ) )
3633, 35syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( ( y 
C_  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  =  0H ) )
3736biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  (
y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )  ->  y  =  0H )
3837expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
( y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  ->  y  =  0H ) )
3938necon3ad 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
( y  =/=  0H  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4029, 39mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )
4140ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
4227, 41syld 42 . . . . . . 7  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  A  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
43 imnan 412 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  <->  -.  ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4442, 43sylib 189 . . . . . 6  |-  ( y  e. HAtoms  ->  -.  ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
45 ssin 3555 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4644, 45sylnib 296 . . . . 5  |-  ( y  e. HAtoms  ->  -.  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4746nrex 2800 . . . 4  |-  -.  E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )
485choccli 22801 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  e.  CH
496, 48chincli 22954 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  e.  CH
5049hatomici 23854 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  =/=  0H  ->  E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
5150necon1bi 2641 . . . 4  |-  ( -. 
E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  ->  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  =  0H )
5247, 51ax-mp 8 . . 3  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  =  0H
535, 7, 21, 52omlsii 22897 . 2  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  =  A
5453eqcomi 2439 1  |-  A  =  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   {crab 2701    i^i cin 3311    C_ wss 3312   U.cuni 4007   ` cfv 5446   CHcch 22424   _|_cort 22425    \/H chsup 22429   0Hc0h 22430  HAtomscat 22460
This theorem is referenced by:  chpssati  23858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579  ax-hcompl 22696
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-lm 17285  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-subgo 21882  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-dip 22189  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-hlim 22467  df-hcau 22468  df-sh 22701  df-ch 22716  df-oc 22746  df-ch0 22747  df-span 22803  df-chsup 22805  df-cv 23774  df-at 23833
  Copyright terms: Public domain W3C validator