Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hauscmp Structured version   Unicode version

Theorem hauscmp 17471
 Description: A compact subspace of a T2 space is closed. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
hauscmp.1
Assertion
Ref Expression
hauscmp t

Proof of Theorem hauscmp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 959 . 2 t
2 hauscmp.1 . . . . . 6
3 eqid 2437 . . . . . 6
4 simpl1 961 . . . . . 6 t
5 simpl2 962 . . . . . 6 t
6 simpl3 963 . . . . . 6 t t
7 simpr 449 . . . . . 6 t
82, 3, 4, 5, 6, 7hauscmplem 17470 . . . . 5 t
9 haustop 17396 . . . . . . . . . . 11
1093ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10 t
11 elssuni 4044 . . . . . . . . . . 11
1211, 2syl6sseqr 3396 . . . . . . . . . 10
132sscls 17121 . . . . . . . . . 10
1410, 12, 13syl2an 465 . . . . . . . . 9 t
15 sstr2 3356 . . . . . . . . 9
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8 t
1716anim2d 550 . . . . . . 7 t
1817reximdva 2819 . . . . . 6 t
1918adantr 453 . . . . 5 t
208, 19mpd 15 . . . 4 t
2120ralrimiva 2790 . . 3 t
22 eltop2 17041 . . . 4
2310, 22syl 16 . . 3 t
2421, 23mpbird 225 . 2 t
252iscld 17092 . . 3
2610, 25syl 16 . 2 t
271, 24, 26mpbir2and 890 1 t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  wrex 2707  crab 2710   cdif 3318   wss 3321  cuni 4016  cfv 5455  (class class class)co 6082   ↾t crest 13649  ctop 16959  ccld 17081  ccl 17083  cha 17373  ccmp 17450 This theorem is referenced by:  txkgen  17685  cmphaushmeo  17833  cnheibor  18981 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-fin 7114  df-fi 7417  df-rest 13651  df-topgen 13668  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cld 17084  df-cls 17086  df-haus 17380  df-cmp 17451
 Copyright terms: Public domain W3C validator