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Theorem hauscmp 17150
Description: A compact subspace of a T2 space is closed. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
hauscmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hauscmp  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem hauscmp
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  S  C_  X )
2 hauscmp.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
3 eqid 2296 . . . . . 6  |-  { y  e.  J  |  E. w  e.  J  (
x  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }  =  { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( x  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }
4 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  J  e.  Haus )
5 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  S  C_  X
)
6 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( Jt  S
)  e.  Comp )
7 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  x  e.  ( X  \  S ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7hauscmplem 17149 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
9 haustop 17075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
1093ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  J  e.  Top )
11 elssuni 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_ 
U. J )
1211, 2syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_  X )
132sscls 16809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  C_  X )  -> 
z  C_  ( ( cls `  J ) `  z ) )
1410, 12, 13syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  z  e.  J
)  ->  z  C_  ( ( cls `  J
) `  z )
)
15 sstr2 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  ( ( cls `  J ) `  z
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
)  ->  z  C_  ( X  \  S ) ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  z  e.  J
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
)  ->  z  C_  ( X  \  S ) ) )
1716anim2d 548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  z  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) )  ->  (
x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S ) ) ) )
1817reximdva 2668 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  ( E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `
 z )  C_  ( X  \  S ) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S
) ) ) )
1918adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( E. z  e.  J  (
x  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S
) ) ) )
208, 19mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S
) ) )
2120ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  A. x  e.  ( X  \  S ) E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X 
\  S ) ) )
22 eltop2 16729 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  S
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( X  \  S
) E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S ) ) ) )
2310, 22syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  ( ( X  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( X 
\  S ) E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S ) ) ) )
2421, 23mpbird 223 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  ( X  \  S
)  e.  J )
252iscld 16780 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
2610, 25syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X  \  S )  e.  J ) ) )
271, 24, 26mpbir2and 888 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647   Clsdccld 16769   clsccl 16771   Hauscha 17052   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  txkgen  17362  cmphaushmeo  17507  cnheibor  18469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cls 16774  df-haus 17059  df-cmp 17130
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