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Theorem hauscmp 17432
Description: A compact subspace of a T2 space is closed. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
hauscmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hauscmp  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem hauscmp
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  S  C_  X )
2 hauscmp.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
3 eqid 2412 . . . . . 6  |-  { y  e.  J  |  E. w  e.  J  (
x  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }  =  { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( x  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }
4 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  J  e.  Haus )
5 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  S  C_  X
)
6 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( Jt  S
)  e.  Comp )
7 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  x  e.  ( X  \  S ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7hauscmplem 17431 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
9 haustop 17357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
1093ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  J  e.  Top )
11 elssuni 4011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_ 
U. J )
1211, 2syl6sseqr 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_  X )
132sscls 17083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  C_  X )  -> 
z  C_  ( ( cls `  J ) `  z ) )
1410, 12, 13syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  z  e.  J
)  ->  z  C_  ( ( cls `  J
) `  z )
)
15 sstr2 3323 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  ( ( cls `  J ) `  z
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
)  ->  z  C_  ( X  \  S ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  z  e.  J
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
)  ->  z  C_  ( X  \  S ) ) )
1716anim2d 549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  z  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) )  ->  (
x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S ) ) ) )
1817reximdva 2786 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  ( E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `
 z )  C_  ( X  \  S ) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S
) ) ) )
1918adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( E. z  e.  J  (
x  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S
) ) ) )
208, 19mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  /\  x  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S
) ) )
2120ralrimiva 2757 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  A. x  e.  ( X  \  S ) E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X 
\  S ) ) )
22 eltop2 17003 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  S
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( X  \  S
) E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S ) ) ) )
2310, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  ( ( X  \  S )  e.  J  <->  A. x  e.  ( X 
\  S ) E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  z  C_  ( X  \  S ) ) ) )
2421, 23mpbird 224 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  ( X  \  S
)  e.  J )
252iscld 17054 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X 
\  S )  e.  J ) ) )
2610, 25syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( S  C_  X  /\  ( X  \  S )  e.  J ) ) )
271, 24, 26mpbir2and 889 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678    \ cdif 3285    C_ wss 3288   U.cuni 3983   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   ↾t crest 13611   Topctop 16921   Clsdccld 17043   clsccl 17045   Hauscha 17334   Compccmp 17411
This theorem is referenced by:  txkgen  17645  cmphaushmeo  17793  cnheibor  18941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-fin 7080  df-fi 7382  df-rest 13613  df-topgen 13630  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-cld 17046  df-cls 17048  df-haus 17341  df-cmp 17412
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