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Theorem hausdiag 17355
 Description: A topology is Hausdorff iff the diagonal set is closed in the topology's product with itself. EDITORIAL: very clumsy proof, can probably be shortened substantially. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hausdiag.x
Assertion
Ref Expression
hausdiag

Proof of Theorem hausdiag
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hausdiag.x . . 3
21ishaus 17066 . 2
3 txtop 17280 . . . . . 6
43anidms 626 . . . . 5
5 f1oi 5527 . . . . . . 7
6 f1of 5488 . . . . . . 7
7 fssxp 5416 . . . . . . 7
85, 6, 7mp2b 9 . . . . . 6
91, 1txuni 17303 . . . . . . 7
109anidms 626 . . . . . 6
118, 10syl5sseq 3239 . . . . 5
12 eqid 2296 . . . . . 6
1312iscld2 16781 . . . . 5
144, 11, 13syl2anc 642 . . . 4
15 eltx 17279 . . . . 5
1615anidms 626 . . . 4
17 eldif 3175 . . . . . . . . . 10
1810eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12
1918eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11
2019anbi1d 685 . . . . . . . . . 10
2117, 20syl5bb 248 . . . . . . . . 9
2221imbi1d 308 . . . . . . . 8
23 impexp 433 . . . . . . . 8
2422, 23syl6bb 252 . . . . . . 7
2524ralbidv2 2578 . . . . . 6
26 eleq1 2356 . . . . . . . . 9
2726notbid 285 . . . . . . . 8
28 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10
2928anbi1d 685 . . . . . . . . 9
30292rexbidv 2599 . . . . . . . 8
3127, 30imbi12d 311 . . . . . . 7
3231ralxp 4843 . . . . . 6
3325, 32syl6bb 252 . . . . 5
34 vex 2804 . . . . . . . . . . 11
3534opelres 4976 . . . . . . . . . 10
36 iba 489 . . . . . . . . . . . 12
3736adantr 451 . . . . . . . . . . 11
38 df-br 4040 . . . . . . . . . . . . 13
3934ideq 4852 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39bitr3i 242 . . . . . . . . . . . 12
4140a1i 10 . . . . . . . . . . 11
4237, 41bitr3d 246 . . . . . . . . . 10
4335, 42syl5bb 248 . . . . . . . . 9
4443adantl 452 . . . . . . . 8
4544necon3bbid 2493 . . . . . . 7
46 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 xpss12 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4946, 47, 48syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
501, 1xpeq12i 4727 . . . . . . . . . . . . . . 15
5149, 50syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . 14
5251adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
5310ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 53sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . 12
55 reldisj 3511 . . . . . . . . . . . 12
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11
57 df-res 4717 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857ineq2i 3380 . . . . . . . . . . . . . 14
59 inass 3392 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160, 52syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 ssv 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63 xpss2 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6561, 64syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 66sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15
6859, 67syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . 14
6958, 68syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13
7069eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12
71 opelxp 4735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 df-br 4040 . . . . . . . . . . . . . . . 16
73 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7471, 72, 733bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574notbii 287 . . . . . . . . . . . . . 14
7675albii 1556 . . . . . . . . . . . . 13
77 intirr 5077 . . . . . . . . . . . . 13
78 eq0 3482 . . . . . . . . . . . . 13
7976, 77, 783bitr4i 268 . . . . . . . . . . . 12
8070, 79syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11
8156, 80bitr3d 246 . . . . . . . . . 10
8281anbi2d 684 . . . . . . . . 9
83 opelxp 4735 . . . . . . . . . 10
8483anbi1i 676 . . . . . . . . 9
85 df-3an 936 . . . . . . . . 9
8682, 84, 853bitr4g 279 . . . . . . . 8
87862rexbidva 2597 . . . . . . 7
8845, 87imbi12d 311 . . . . . 6
89882ralbidva 2596 . . . . 5
9033, 89bitrd 244 . . . 4
9114, 16, 903bitrrd 271 . . 3
9291pm5.32i 618 . 2
932, 92bitri 240 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1530   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cdif 3162   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cop 3656  cuni 3843   class class class wbr 4039   cid 4320   cxp 4703   cres 4707  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  ctop 16647  ccld 16769  cha 17052   ctx 17271 This theorem is referenced by:  hauseqlcld  17356  tgphaus  17815 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-haus 17059  df-tx 17273
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