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Theorem hausdiag 17355
Description: A topology is Hausdorff iff the diagonal set is closed in the topology's product with itself. EDITORIAL: very clumsy proof, can probably be shortened substantially. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hausdiag.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hausdiag  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )

Proof of Theorem hausdiag
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hausdiag.x . . 3  |-  X  = 
U. J
21ishaus 17066 . 2  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3 txtop 17280 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( J  tX  J
)  e.  Top )
43anidms 626 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  tX  J )  e. 
Top )
5 f1oi 5527 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  X ) : X -1-1-onto-> X
6 f1of 5488 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  X ) : X -1-1-onto-> X  ->  (  _I  |`  X ) : X --> X )
7 fssxp 5416 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  X ) : X --> X  ->  (  _I  |`  X )  C_  ( X  X.  X
) )
85, 6, 7mp2b 9 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  X )  C_  ( X  X.  X )
91, 1txuni 17303 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( X  X.  X
)  =  U. ( J  tX  J ) )
109anidms 626 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  X.  X )  = 
U. ( J  tX  J ) )
118, 10syl5sseq 3239 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (  _I  |`  X )  C_  U. ( J  tX  J
) )
12 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ( J  tX  J )
1312iscld2 16781 . . . . 5  |-  ( ( ( J  tX  J
)  e.  Top  /\  (  _I  |`  X ) 
C_  U. ( J  tX  J ) )  -> 
( (  _I  |`  X )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) )  <-> 
( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J ) ) )
144, 11, 13syl2anc 642 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
(  _I  |`  X )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) )  <-> 
( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J ) ) )
15 eltx 17279 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J )  <->  A. e  e.  ( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) )
1615anidms 626 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J )  <->  A. e  e.  ( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) )
17 eldif 3175 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  <->  ( e  e. 
U. ( J  tX  J )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) ) )
1810eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  U. ( J  tX  J )  =  ( X  X.  X
) )
1918eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
e  e.  U. ( J  tX  J )  <->  e  e.  ( X  X.  X
) ) )
2019anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( e  e.  U. ( J  tX  J )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) ) ) )
2117, 20syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  (
e  e.  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) ) ) )
2221imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( e  e.  ( U. ( J  tX  J )  \  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( ( e  e.  ( X  X.  X )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
23 impexp 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( e  e.  ( X  X.  X )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  ->  ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
2422, 23syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( e  e.  ( U. ( J  tX  J )  \  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  ->  ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) ) )
2524ralbidv2 2578 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. e  e.  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) )  <->  A. e  e.  ( X  X.  X
) ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
26 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( e  e.  (  _I  |`  X )  <->  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X ) ) )
2726notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  <->  -.  <. a ,  b
>.  e.  (  _I  |`  X ) ) )
28 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( e  e.  ( c  X.  d
)  <->  <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d ) ) )
2928anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) )  <->  ( <. a ,  b >.  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) )
30292rexbidv 2599 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) )  <->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) )
3127, 30imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
3231ralxp 4843 . . . . . 6  |-  ( A. e  e.  ( X  X.  X ) ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) )
3325, 32syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. e  e.  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( -.  <.
a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
34 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
3534opelres 4976 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
( <. a ,  b
>.  e.  _I  /\  a  e.  X ) )
36 iba 489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  X  ->  ( <. a ,  b >.  e.  _I  <->  ( <. a ,  b >.  e.  _I  /\  a  e.  X
) ) )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  _I  <->  ( <. a ,  b >.  e.  _I  /\  a  e.  X
) ) )
38 df-br 4040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  _I  b  <->  <. a ,  b >.  e.  _I  )
3934ideq 4852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  _I  b  <->  a  =  b )
4038, 39bitr3i 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  _I  <->  a  =  b )
4140a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  _I  <->  a  =  b ) )
4237, 41bitr3d 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( ( <. a ,  b >.  e.  _I  /\  a  e.  X
)  <->  a  =  b ) )
4335, 42syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
a  =  b ) )
4443adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
a  =  b ) )
4544necon3bbid 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( -.  <. a ,  b
>.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
a  =/=  b ) )
46 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  J  ->  c  C_ 
U. J )
47 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  J  ->  d  C_ 
U. J )
48 xpss12 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  C_  U. J  /\  d  C_  U. J )  ->  ( c  X.  d )  C_  ( U. J  X.  U. J
) )
4946, 47, 48syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  ->  ( c  X.  d
)  C_  ( U. J  X.  U. J ) )
501, 1xpeq12i 4727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  X.  X )  =  ( U. J  X.  U. J )
5149, 50syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  ->  ( c  X.  d
)  C_  ( X  X.  X ) )
5251adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( c  X.  d )  C_  ( X  X.  X ) )
5310ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( X  X.  X )  =  U. ( J  tX  J ) )
5452, 53sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( c  X.  d )  C_  U. ( J  tX  J ) )
55 reldisj 3511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  X.  d ) 
C_  U. ( J  tX  J )  ->  (
( ( c  X.  d )  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/)  <->  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/) 
<->  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) ) )
57 df-res 4717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  _I  |`  X )  =  (  _I  i^i  ( X  X.  _V ) )
5857ineq2i 3380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  X.  d )  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  ( ( c  X.  d )  i^i  (  _I  i^i  ( X  X.  _V )
) )
59 inass 3392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  i^i  ( X  X.  _V ) )  =  ( ( c  X.  d
)  i^i  (  _I  i^i  ( X  X.  _V ) ) )
60 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  X.  d )  i^i  _I  )  C_  ( c  X.  d
)
6160, 52syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  _I  )  C_  ( X  X.  X
) )
62 ssv 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  C_  _V
63 xpss2 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( X  X.  X )  C_  ( X  X.  _V )
)
6462, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  X.  X )  C_  ( X  X.  _V )
6561, 64syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  _I  )  C_  ( X  X.  _V )
)
66 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  C_  ( X  X.  _V ) 
<->  ( ( ( c  X.  d )  i^i 
_I  )  i^i  ( X  X.  _V ) )  =  ( ( c  X.  d )  i^i 
_I  ) )
6765, 66sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  _I  )  i^i  ( X  X.  _V ) )  =  ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )
)
6859, 67syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  (  _I  i^i  ( X  X.  _V )
) )  =  ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )
)
6958, 68syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  ( ( c  X.  d )  i^i  _I  ) )
7069eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/) 
<->  ( ( c  X.  d )  i^i  _I  )  =  (/) ) )
71 opelxp 4735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
a ,  a >.  e.  ( c  X.  d
)  <->  ( a  e.  c  /\  a  e.  d ) )
72 df-br 4040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a ( c  X.  d
) a  <->  <. a ,  a >.  e.  (
c  X.  d ) )
73 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( c  i^i  d )  <->  ( a  e.  c  /\  a  e.  d ) )
7471, 72, 733bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a ( c  X.  d
) a  <->  a  e.  ( c  i^i  d
) )
7574notbii 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  a ( c  X.  d ) a  <->  -.  a  e.  ( c  i^i  d
) )
7675albii 1556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  -.  a ( c  X.  d ) a  <->  A. a  -.  a  e.  ( c  i^i  d
) )
77 intirr 5077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. a  -.  a
( c  X.  d
) a )
78 eq0 3482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  <->  A. a  -.  a  e.  ( c  i^i  d
) )
7976, 77, 783bitr4i 268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  =  (/)  <->  ( c  i^i  d )  =  (/) )
8070, 79syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/) 
<->  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )
8156, 80bitr3d 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  <->  ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
8281anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J )  \  (  _I  |`  X ) ) )  <->  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) )
83 opelxp 4735 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  <->  ( a  e.  c  /\  b  e.  d ) )
8483anbi1i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) )  <-> 
( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) )
85 df-3an 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) )  <->  ( (
a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )
8682, 84, 853bitr4g 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( ( <. a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) )  <-> 
( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d )  =  (/) ) ) )
87862rexbidva 2597 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) )  <->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) )
8845, 87imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
89882ralbidva 2596 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
9033, 89bitrd 244 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. e  e.  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
9114, 16, 903bitrrd 271 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d )  =  (/) ) )  <->  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
9291pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d )  =  (/) ) ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
932, 92bitri 240 1  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    _I cid 4320    X. cxp 4703    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647   Clsdccld 16769   Hauscha 17052    tX ctx 17271
This theorem is referenced by:  hauseqlcld  17356  tgphaus  17815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-haus 17059  df-tx 17273
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