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Theorem hauseqlcld 17600
Description: In a Hausdorff topology, the equalizer of two continuous functions is closed (thus, two continuous functions which agree on a dense set agree everywhere). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hauseqlcld.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
hauseqlcld.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
hauseqlcld.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
hauseqlcld  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem hauseqlcld
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauseqlcld.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
3 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnf 17233 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
51, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : U. J --> U. K )
65ffvelrnda 5810 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  ( F `  b )  e.  U. K )
76biantrud 494 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  ( <. ( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  _I  <->  ( <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _I  /\  ( F `  b
)  e.  U. K
) ) )
8 fvex 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 b )  e. 
_V
98ideq 4966 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  b )  _I  ( G `  b )  <->  ( F `  b )  =  ( G `  b ) )
10 df-br 4155 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  b )  _I  ( G `  b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  _I  )
119, 10bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  b )  =  ( G `  b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  _I  )
128opelres 5092 . . . . . . 7  |-  ( <.
( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  (  _I  |`  U. K
)  <->  ( <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _I  /\  ( F `  b
)  e.  U. K
) )
137, 11, 123bitr4g 280 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( F `  b
)  =  ( G `
 b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  (  _I  |`  U. K ) ) )
14 fveq2 5669 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
15 fveq2 5669 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( G `  a )  =  ( G `  b ) )
1614, 15opeq12d 3935 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >.  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >. )
17 eqid 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  =  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)
18 opex 4369 . . . . . . . . 9  |-  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _V
1916, 17, 18fvmpt 5746 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  U. J  -> 
( ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) `  b )  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >. )
2019adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b )
>. )
2120eleq1d 2454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K )  <->  <. ( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  (  _I  |`  U. K
) ) )
2213, 21bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( F `  b
)  =  ( G `
 b )  <->  ( (
a  e.  U. J  |-> 
<. ( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) )
2322pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( b  e. 
U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
24 ffn 5532 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
255, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  U. J
)
26 hauseqlcld.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
272, 3cnf 17233 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( J  Cn  K )  ->  G : U. J --> U. K
)
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
29 ffn 5532 . . . . . . . 8  |-  ( G : U. J --> U. K  ->  G  Fn  U. J
)
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  U. J
)
31 fndmin 5777 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  U. J  /\  G  Fn  U. J
)  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { b  e.  U. J  |  ( F `  b )  =  ( G `  b ) } )
3225, 30, 31syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { b  e.  U. J  | 
( F `  b
)  =  ( G `
 b ) } )
3332eleq2d 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
b  e.  { b  e.  U. J  | 
( F `  b
)  =  ( G `
 b ) } ) )
34 rabid 2828 . . . . 5  |-  ( b  e.  { b  e. 
U. J  |  ( F `  b )  =  ( G `  b ) }  <->  ( b  e.  U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) ) )
3533, 34syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
( b  e.  U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) ) ) )
36 opex 4369 . . . . . 6  |-  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >.  e.  _V
3736, 17fnmpti 5514 . . . . 5  |-  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  Fn  U. J
38 elpreima 5790 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  U. J  |-> 
<. ( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  Fn  U. J  ->  ( b  e.  ( `' ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) " (  _I  |`  U. K
) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
3937, 38mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  ( `' ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) " (  _I  |`  U. K
) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
4023, 35, 393bitr4d 277 . . 3  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
b  e.  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) " (  _I  |`  U. K ) ) ) )
4140eqrdv 2386 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) " (  _I  |`  U. K ) ) )
422, 17txcnmpt 17578 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  G  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) ) )
431, 26, 42syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) ) )
44 hauseqlcld.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
453hausdiag 17599 . . . . 5  |-  ( K  e.  Haus  <->  ( K  e. 
Top  /\  (  _I  |` 
U. K )  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K ) ) ) )
4645simprbi 451 . . . 4  |-  ( K  e.  Haus  ->  (  _I  |`  U. K )  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K ) ) )
4744, 46syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. K
)  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K
) ) )
48 cnclima 17255 . . 3  |-  ( ( ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) )  /\  (  _I  |`  U. K
)  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K
) ) )  -> 
( `' ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) " (  _I  |`  U. K ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4943, 47, 48syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) " (  _I  |`  U. K ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5041, 49eqeltrd 2462 1  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654    i^i cin 3263   <.cop 3761   U.cuni 3958   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208    _I cid 4435   `'ccnv 4818   dom cdm 4819    |` cres 4821   "cima 4822    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Topctop 16882   Clsdccld 17004    Cn ccn 17211   Hauscha 17295    tX ctx 17514
This theorem is referenced by:  hauseqcn  24098  hausgraph  27201
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-map 6957  df-topgen 13595  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cld 17007  df-cn 17214  df-haus 17302  df-tx 17516
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