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Theorem hauseqlcld 17356
Description: In a Hausdorff topology, the equalizer of two continuous functions is closed (thus, two continuous functions which agree on a dense set agree everywhere). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hauseqlcld.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
hauseqlcld.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
hauseqlcld.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
hauseqlcld  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem hauseqlcld
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauseqlcld.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
3 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnf 16992 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
51, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : U. J --> U. K )
6 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  b  e.  U. J )  -> 
( F `  b
)  e.  U. K
)
75, 6sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  ( F `  b )  e.  U. K )
87biantrud 493 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  ( <. ( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  _I  <->  ( <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _I  /\  ( F `  b
)  e.  U. K
) ) )
9 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 b )  e. 
_V
109ideq 4852 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  b )  _I  ( G `  b )  <->  ( F `  b )  =  ( G `  b ) )
11 df-br 4040 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  b )  _I  ( G `  b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  _I  )
1210, 11bitr3i 242 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  b )  =  ( G `  b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  _I  )
139opelres 4976 . . . . . . 7  |-  ( <.
( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  (  _I  |`  U. K
)  <->  ( <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _I  /\  ( F `  b
)  e.  U. K
) )
148, 12, 133bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( F `  b
)  =  ( G `
 b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  (  _I  |`  U. K ) ) )
15 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
16 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( G `  a )  =  ( G `  b ) )
1715, 16opeq12d 3820 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >.  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >. )
18 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  =  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)
19 opex 4253 . . . . . . . . 9  |-  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _V
2017, 18, 19fvmpt 5618 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  U. J  -> 
( ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) `  b )  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >. )
2120adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b )
>. )
2221eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K )  <->  <. ( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  (  _I  |`  U. K
) ) )
2314, 22bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( F `  b
)  =  ( G `
 b )  <->  ( (
a  e.  U. J  |-> 
<. ( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) )
2423pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( b  e. 
U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
25 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
265, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  U. J
)
27 hauseqlcld.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
282, 3cnf 16992 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( J  Cn  K )  ->  G : U. J --> U. K
)
2927, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
30 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( G : U. J --> U. K  ->  G  Fn  U. J
)
3129, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  U. J
)
32 fndmin 5648 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  U. J  /\  G  Fn  U. J
)  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { b  e.  U. J  |  ( F `  b )  =  ( G `  b ) } )
3326, 31, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { b  e.  U. J  | 
( F `  b
)  =  ( G `
 b ) } )
3433eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
b  e.  { b  e.  U. J  | 
( F `  b
)  =  ( G `
 b ) } ) )
35 rabid 2729 . . . . 5  |-  ( b  e.  { b  e. 
U. J  |  ( F `  b )  =  ( G `  b ) }  <->  ( b  e.  U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) ) )
3634, 35syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
( b  e.  U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) ) ) )
37 opex 4253 . . . . . 6  |-  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >.  e.  _V
3837, 18fnmpti 5388 . . . . 5  |-  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  Fn  U. J
39 elpreima 5661 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  U. J  |-> 
<. ( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  Fn  U. J  ->  ( b  e.  ( `' ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) " (  _I  |`  U. K
) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
4038, 39mp1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  ( `' ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) " (  _I  |`  U. K
) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
4124, 36, 403bitr4d 276 . . 3  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
b  e.  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) " (  _I  |`  U. K ) ) ) )
4241eqrdv 2294 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) " (  _I  |`  U. K ) ) )
432, 18txcnmpt 17334 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  G  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) ) )
441, 27, 43syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) ) )
45 hauseqlcld.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
463hausdiag 17355 . . . . 5  |-  ( K  e.  Haus  <->  ( K  e. 
Top  /\  (  _I  |` 
U. K )  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K ) ) ) )
4746simprbi 450 . . . 4  |-  ( K  e.  Haus  ->  (  _I  |`  U. K )  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K ) ) )
4845, 47syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. K
)  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K
) ) )
49 cnclima 17013 . . 3  |-  ( ( ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) )  /\  (  _I  |`  U. K
)  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K
) ) )  -> 
( `' ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) " (  _I  |`  U. K ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5044, 48, 49syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) " (  _I  |`  U. K ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5142, 50eqeltrd 2370 1  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    i^i cin 3164   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _I cid 4320   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970   Hauscha 17052    tX ctx 17271
This theorem is referenced by:  hausgraph  27634
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cn 16973  df-haus 17059  df-tx 17273
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