Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hauseqlcld Unicode version

Theorem hauseqlcld 17340
 Description: In a Hausdorff topology, the equalizer of two continuous functions is closed (thus, two continuous functions which agree on a dense set agree everywhere). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hauseqlcld.k
hauseqlcld.f
hauseqlcld.g
Assertion
Ref Expression
hauseqlcld

Proof of Theorem hauseqlcld
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauseqlcld.f . . . . . . . . . 10
2 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
3 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
42, 3cnf 16976 . . . . . . . . . 10
51, 4syl 15 . . . . . . . . 9
6 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
75, 6sylan 457 . . . . . . . 8
87biantrud 493 . . . . . . 7
9 fvex 5539 . . . . . . . . 9
109ideq 4836 . . . . . . . 8
11 df-br 4024 . . . . . . . 8
1210, 11bitr3i 242 . . . . . . 7
139opelres 4960 . . . . . . 7
148, 12, 133bitr4g 279 . . . . . 6
15 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
16 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
1715, 16opeq12d 3804 . . . . . . . . 9
18 eqid 2283 . . . . . . . . 9
19 opex 4237 . . . . . . . . 9
2017, 18, 19fvmpt 5602 . . . . . . . 8
2120adantl 452 . . . . . . 7
2221eleq1d 2349 . . . . . 6
2314, 22bitr4d 247 . . . . 5
2423pm5.32da 622 . . . 4
25 ffn 5389 . . . . . . . 8
265, 25syl 15 . . . . . . 7
27 hauseqlcld.g . . . . . . . . 9
282, 3cnf 16976 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 15 . . . . . . . 8
30 ffn 5389 . . . . . . . 8
3129, 30syl 15 . . . . . . 7
32 fndmin 5632 . . . . . . 7
3326, 31, 32syl2anc 642 . . . . . 6
3433eleq2d 2350 . . . . 5
35 rabid 2716 . . . . 5
3634, 35syl6bb 252 . . . 4
37 opex 4237 . . . . . 6
3837, 18fnmpti 5372 . . . . 5
39 elpreima 5645 . . . . 5
4038, 39mp1i 11 . . . 4
4124, 36, 403bitr4d 276 . . 3
4241eqrdv 2281 . 2
432, 18txcnmpt 17318 . . . 4
441, 27, 43syl2anc 642 . . 3
45 hauseqlcld.k . . . 4
463hausdiag 17339 . . . . 5
4746simprbi 450 . . . 4
4845, 47syl 15 . . 3
49 cnclima 16997 . . 3
5044, 48, 49syl2anc 642 . 2
5142, 50eqeltrd 2357 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  crab 2547   cin 3151  cop 3643  cuni 3827   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cid 4304  ccnv 4688   cdm 4689   cres 4691  cima 4692   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  ctop 16631  ccld 16753   ccn 16954  cha 17036   ctx 17255 This theorem is referenced by:  hausgraph  27531 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cn 16957  df-haus 17043  df-tx 17257
 Copyright terms: Public domain W3C validator