Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hauseqlcld Structured version   Unicode version

Theorem hauseqlcld 17668
 Description: In a Hausdorff topology, the equalizer of two continuous functions is closed (thus, two continuous functions which agree on a dense set agree everywhere). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hauseqlcld.k
hauseqlcld.f
hauseqlcld.g
Assertion
Ref Expression
hauseqlcld

Proof of Theorem hauseqlcld
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauseqlcld.f . . . . . . . . . 10
2 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
3 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
42, 3cnf 17300 . . . . . . . . . 10
51, 4syl 16 . . . . . . . . 9
65ffvelrnda 5862 . . . . . . . 8
76biantrud 494 . . . . . . 7
8 fvex 5734 . . . . . . . . 9
98ideq 5017 . . . . . . . 8
10 df-br 4205 . . . . . . . 8
119, 10bitr3i 243 . . . . . . 7
128opelres 5143 . . . . . . 7
137, 11, 123bitr4g 280 . . . . . 6
14 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
15 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
1614, 15opeq12d 3984 . . . . . . . . 9
17 eqid 2435 . . . . . . . . 9
18 opex 4419 . . . . . . . . 9
1916, 17, 18fvmpt 5798 . . . . . . . 8
2019adantl 453 . . . . . . 7
2120eleq1d 2501 . . . . . 6
2213, 21bitr4d 248 . . . . 5
2322pm5.32da 623 . . . 4
24 ffn 5583 . . . . . . . 8
255, 24syl 16 . . . . . . 7
26 hauseqlcld.g . . . . . . . . 9
272, 3cnf 17300 . . . . . . . . 9
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8
29 ffn 5583 . . . . . . . 8
3028, 29syl 16 . . . . . . 7
31 fndmin 5829 . . . . . . 7
3225, 30, 31syl2anc 643 . . . . . 6
3332eleq2d 2502 . . . . 5
34 rabid 2876 . . . . 5
3533, 34syl6bb 253 . . . 4
36 opex 4419 . . . . . 6
3736, 17fnmpti 5565 . . . . 5
38 elpreima 5842 . . . . 5
3937, 38mp1i 12 . . . 4
4023, 35, 393bitr4d 277 . . 3
4140eqrdv 2433 . 2
422, 17txcnmpt 17646 . . . 4
431, 26, 42syl2anc 643 . . 3
44 hauseqlcld.k . . . 4
453hausdiag 17667 . . . . 5
4645simprbi 451 . . . 4
4744, 46syl 16 . . 3
48 cnclima 17322 . . 3
4943, 47, 48syl2anc 643 . 2
5041, 49eqeltrd 2509 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2701   cin 3311  cop 3809  cuni 4007   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cid 4485  ccnv 4869   cdm 4870   cres 4872  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  ctop 16948  ccld 17070   ccn 17278  cha 17362   ctx 17582 This theorem is referenced by:  hauseqcn  24283  hausgraph  27463 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-topgen 13657  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cld 17073  df-cn 17281  df-haus 17369  df-tx 17584
 Copyright terms: Public domain W3C validator