Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausflimi Structured version   Unicode version

Theorem hausflimi 18004
 Description: One direction of hausflim 18005. A filter in a Hausdorf space has at most one limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausflimi
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem hausflimi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . . . . 9
2 simprll 739 . . . . . . . . . 10
3 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
43flimelbas 17992 . . . . . . . . . 10
52, 4syl 16 . . . . . . . . 9
6 simprlr 740 . . . . . . . . . 10
73flimelbas 17992 . . . . . . . . . 10
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9
9 simprr 734 . . . . . . . . 9
103hausnei 17384 . . . . . . . . 9
111, 5, 8, 9, 10syl13anc 1186 . . . . . . . 8
12 df-3an 938 . . . . . . . . . 10
13 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14
14 hausflimlem 18003 . . . . . . . . . . . . . . 15
15143expa 1153 . . . . . . . . . . . . . 14
1613, 15sylanl1 632 . . . . . . . . . . . . 13
1716a1d 23 . . . . . . . . . . . 12
1817necon4d 2661 . . . . . . . . . . 11
1918expimpd 587 . . . . . . . . . 10
2012, 19syl5bi 209 . . . . . . . . 9
2120rexlimdvva 2829 . . . . . . . 8
2211, 21mpd 15 . . . . . . 7
2322expr 599 . . . . . 6
2423necon1bd 2666 . . . . 5
2524pm2.18d 105 . . . 4
2625ex 424 . . 3
2726alrimivv 1642 . 2
28 eleq1 2495 . . 3
2928mo4 2313 . 2
3027, 29sylibr 204 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wmo 2281   wne 2598  wrex 2698   cin 3311  c0 3620  cuni 4007  (class class class)co 6073  cha 17364   cflim 17958 This theorem is referenced by:  hausflim  18005  hausflf  18021  cmetss  19259  minveclem4a  19323 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16691  df-top 16955  df-nei 17154  df-haus 17371  df-fil 17870  df-flim 17963
 Copyright terms: Public domain W3C validator