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Theorem hausflimi 17675
Description: One direction of hausflim 17676. A filter in a Hausdorf space has at most one limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausflimi  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J

Proof of Theorem hausflimi
Dummy variables  v  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  J  e.  Haus )
2 simprll 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F
) )
3 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
43flimelbas 17663 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( J  fLim  F )  ->  x  e.  U. J )
52, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  U. J )
6 simprlr 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  ( J  fLim  F
) )
73flimelbas 17663 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( J  fLim  F )  ->  y  e.  U. J )
86, 7syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  U. J )
9 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =/=  y )
103hausnei 17056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
111, 5, 8, 9, 10syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
12 df-3an 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  u  /\  y  e.  v )  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
13 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )
14 hausflimlem 17674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) )
15143expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )  /\  ( x  e.  u  /\  y  e.  v
) )  ->  (
u  i^i  v )  =/=  (/) )
1613, 15sylanl1 631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) )
1716a1d 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( x  =/=  y  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) ) )
1817necon4d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( (
u  i^i  v )  =  (/)  ->  x  =  y ) )
1918expimpd 586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  u  /\  y  e.  v )  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  x  =  y ) )
2012, 19syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  ->  (
( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  x  =  y )
)
2120rexlimdvva 2674 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  x  =  y )
)
2211, 21mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =  y )
2322expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  -> 
( x  =/=  y  ->  x  =  y ) )
2423necon1bd 2514 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  -> 
( -.  x  =  y  ->  x  =  y ) )
2524pm2.18d 103 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  ->  x  =  y )
2625ex 423 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( ( x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  ->  x  =  y ) )
2726alrimivv 1618 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x A. y ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  ->  x  =  y ) )
28 eleq1 2343 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  y  e.  ( J  fLim  F ) ) )
2928mo4 2176 . 2  |-  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  F )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  ->  x  =  y ) )
3027, 29sylibr 203 1  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144    =/= wne 2446   E.wrex 2544    i^i cin 3151   (/)c0 3455   U.cuni 3827  (class class class)co 5858   Hauscha 17036    fLim cflim 17629
This theorem is referenced by:  hausflim  17676  hausflf  17692  cmetss  18740  minveclem4a  18794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-top 16636  df-nei 16835  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-flim 17634
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