MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausflimi Structured version   Unicode version

Theorem hausflimi 18004
Description: One direction of hausflim 18005. A filter in a Hausdorf space has at most one limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausflimi  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J

Proof of Theorem hausflimi
Dummy variables  v  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  J  e.  Haus )
2 simprll 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F
) )
3 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
43flimelbas 17992 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( J  fLim  F )  ->  x  e.  U. J )
52, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  U. J )
6 simprlr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  ( J  fLim  F
) )
73flimelbas 17992 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( J  fLim  F )  ->  y  e.  U. J )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  U. J )
9 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =/=  y )
103hausnei 17384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
111, 5, 8, 9, 10syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
12 df-3an 938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  u  /\  y  e.  v )  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
13 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )
14 hausflimlem 18003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) )
15143expa 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )  /\  ( x  e.  u  /\  y  e.  v
) )  ->  (
u  i^i  v )  =/=  (/) )
1613, 15sylanl1 632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) )
1716a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( x  =/=  y  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) ) )
1817necon4d 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( (
u  i^i  v )  =  (/)  ->  x  =  y ) )
1918expimpd 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  u  /\  y  e.  v )  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  x  =  y ) )
2012, 19syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  ->  (
( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  x  =  y )
)
2120rexlimdvva 2829 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  x  =  y )
)
2211, 21mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =  y )
2322expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  -> 
( x  =/=  y  ->  x  =  y ) )
2423necon1bd 2666 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  -> 
( -.  x  =  y  ->  x  =  y ) )
2524pm2.18d 105 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  ->  x  =  y )
2625ex 424 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( ( x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  ->  x  =  y ) )
2726alrimivv 1642 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x A. y ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  ->  x  =  y ) )
28 eleq1 2495 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  y  e.  ( J  fLim  F ) ) )
2928mo4 2313 . 2  |-  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  F )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  ->  x  =  y ) )
3027, 29sylibr 204 1  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   E*wmo 2281    =/= wne 2598   E.wrex 2698    i^i cin 3311   (/)c0 3620   U.cuni 4007  (class class class)co 6073   Hauscha 17364    fLim cflim 17958
This theorem is referenced by:  hausflim  18005  hausflf  18021  cmetss  19259  minveclem4a  19323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16691  df-top 16955  df-nei 17154  df-haus 17371  df-fil 17870  df-flim 17963
  Copyright terms: Public domain W3C validator