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Theorem hausgraph 27508
Description: The graph of a continuous function into a Hausdorff space is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausgraph  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K ) ) )

Proof of Theorem hausgraph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6368 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J
2 ffn 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )
4 fvco2 5798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  Fn  ( U. J  X.  U. K
)  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
53, 4mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
65adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
7 fvres 5745 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 1st `  a ) )
87fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( F `  (
( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) )  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
98adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( F `  (
( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) )  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
106, 9eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
11 fvres 5745 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 2nd `  a ) )
1211adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 2nd `  a ) )
1310, 12eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) ) `  a )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  <->  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a ) ) )
1413rabbidva 2947 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) }  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
15 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
16 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
1715, 16cnf 17310 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
1817adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J --> U. K
)
19 fco 5600 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K )
2018, 1, 19sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K )
21 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
2220, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
23 f2ndres 6369 . . . . 5  |-  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K
24 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )
26 fndmin 5837 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )  /\  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  Fn  ( U. J  X.  U. K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) } )
2722, 25, 26sylancl 644 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) } )
28 fgraphxp 27507 . . . 4  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
2918, 28syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
3014, 27, 293eqtr4rd 2479 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  =  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) ) )
31 simpl 444 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Haus )
32 cntop1 17304 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
3332adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
3415toptopon 16998 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3533, 34sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
36 haustop 17395 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
3731, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3816toptopon 16998 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3937, 38sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
40 tx1cn 17641 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
4135, 39, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  J ) )
42 cnco 17330 . . . 4  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
4341, 42sylancom 649 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  K ) )
44 tx2cn 17642 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
4535, 39, 44syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  K ) )
4631, 43, 45hauseqlcld 17678 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K
) ) )
4730, 46eqeltrd 2510 1  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    i^i cin 3319   U.cuni 4015    X. cxp 4876   dom cdm 4878    |` cres 4880    o. ccom 4882    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   Clsdccld 17080    Cn ccn 17288   Hauscha 17372    tX ctx 17592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 7020  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-cn 17291  df-haus 17379  df-tx 17594
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