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Theorem hausgraph 26679
Description: The graph of a continuous function into a Hausdorff space is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausgraph  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K ) ) )

Proof of Theorem hausgraph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6183 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J
2 ffn 5427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )
4 fvco2 5632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  Fn  ( U. J  X.  U. K
)  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
53, 4mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
65adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
7 fvres 5580 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 1st `  a ) )
87fveq2d 5567 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( F `  (
( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) )  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
98adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( F `  (
( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) )  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
106, 9eqtrd 2348 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
11 fvres 5580 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 2nd `  a ) )
1211adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 2nd `  a ) )
1310, 12eqeq12d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) ) `  a )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  <->  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a ) ) )
1413rabbidva 2813 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) }  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
15 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
16 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
1715, 16cnf 17032 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
1817adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J --> U. K
)
19 fco 5436 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K )
2018, 1, 19sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K )
21 ffn 5427 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
2220, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
23 f2ndres 6184 . . . . 5  |-  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K
24 ffn 5427 . . . . 5  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )
26 fndmin 5670 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )  /\  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  Fn  ( U. J  X.  U. K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) } )
2722, 25, 26sylancl 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) } )
28 fgraphxp 26678 . . . 4  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
2918, 28syl 15 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
3014, 27, 293eqtr4rd 2359 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  =  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) ) )
31 simpl 443 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Haus )
32 cntop1 17026 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
3332adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
3415toptopon 16727 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3533, 34sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
36 haustop 17115 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
3731, 36syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3816toptopon 16727 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3937, 38sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
40 tx1cn 17359 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
4135, 39, 40syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  J ) )
42 cnco 17051 . . . 4  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
4341, 42sylancom 648 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  K ) )
44 tx2cn 17360 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
4535, 39, 44syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  K ) )
4631, 43, 45hauseqlcld 17396 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K
) ) )
4730, 46eqeltrd 2390 1  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {crab 2581    i^i cin 3185   U.cuni 3864    X. cxp 4724   dom cdm 4726    |` cres 4728    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163   Topctop 16687  TopOnctopon 16688   Clsdccld 16809    Cn ccn 17010   Hauscha 17092    tX ctx 17311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-map 6817  df-topgen 13393  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-cld 16812  df-cn 17013  df-haus 17099  df-tx 17313
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