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Theorem hausgraph 27531
Description: The graph of a continuous function into a Hausdorff space is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausgraph  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K ) ) )

Proof of Theorem hausgraph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6141 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J
2 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )
4 fvco2 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  Fn  ( U. J  X.  U. K
)  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
53, 4mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
65adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
7 fvres 5542 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 1st `  a ) )
87fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( F `  (
( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) )  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
98adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( F `  (
( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) )  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
106, 9eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
11 fvres 5542 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 2nd `  a ) )
1211adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 2nd `  a ) )
1310, 12eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) ) `  a )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  <->  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a ) ) )
1413rabbidva 2779 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) }  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
15 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
16 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
1715, 16cnf 16976 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
1817adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J --> U. K
)
19 fco 5398 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K )
2018, 1, 19sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K )
21 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
2220, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
23 f2ndres 6142 . . . . 5  |-  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K
24 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )
26 fndmin 5632 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )  /\  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  Fn  ( U. J  X.  U. K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) } )
2722, 25, 26sylancl 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) } )
28 fgraphxp 27530 . . . 4  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
2918, 28syl 15 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
3014, 27, 293eqtr4rd 2326 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  =  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) ) )
31 simpl 443 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Haus )
32 cntop1 16970 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
3332adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
3415toptopon 16671 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3533, 34sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
36 haustop 17059 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
3731, 36syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3816toptopon 16671 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3937, 38sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
40 tx1cn 17303 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
4135, 39, 40syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  J ) )
42 cnco 16995 . . . 4  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
4341, 42sylancom 648 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  K ) )
44 tx2cn 17304 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
4535, 39, 44syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  K ) )
4631, 43, 45hauseqlcld 17340 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K
) ) )
4730, 46eqeltrd 2357 1  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    i^i cin 3151   U.cuni 3827    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   Hauscha 17036    tX ctx 17255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cn 16957  df-haus 17043  df-tx 17257
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