MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausllycmp Unicode version

Theorem hausllycmp 17236
Description: A compact Hausdorff space is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausllycmp  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )

Proof of Theorem hausllycmp
Dummy variables  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 17075 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2296 . . . . . 6  |-  { z  e.  J  |  E. v  e.  J  (
y  e.  v  /\  ( ( cls `  J
) `  v )  C_  ( U. J  \ 
z ) ) }  =  { z  e.  J  |  E. v  e.  J  ( y  e.  v  /\  (
( cls `  J
) `  v )  C_  ( U. J  \ 
z ) ) }
5 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Haus )
6 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( U. J  \  x )  C_  U. J
76a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )
8 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Comp )
91ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Top )
10 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  J )
113opncld 16786 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( U. J  \  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
13 cmpcld 17145 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( U. J  \  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( Jt  ( U. J  \  x ) )  e. 
Comp )
148, 12, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( Jt  ( U. J  \  x
) )  e.  Comp )
15 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  x )
16 elssuni 3871 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
1716ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  x  C_ 
U. J )
18 dfss4 3416 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  x ) )  =  x )
1917, 18sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  x
) )  =  x )
2015, 19eleqtrrd 2373 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  ( U. J  \ 
( U. J  \  x ) ) )
213, 4, 5, 7, 14, 20hauscmplem 17149 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  (
( cls `  J
) `  u )  C_  ( U. J  \ 
( U. J  \  x ) ) ) )
2219sseq2d 3219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( ( cls `  J
) `  u )  C_  ( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  <->  ( ( cls `  J ) `  u )  C_  x
) )
2322anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  ( U. J  \ 
( U. J  \  x ) ) )  <-> 
( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )
2423rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  ( U. J  \ 
( U. J  \  x ) ) )  <->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )
2521, 24mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  (
( cls `  J
) `  u )  C_  x ) )
269adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  J  e.  Top )
27 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  u  e.  J
)
28 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  y  e.  u
)
29 opnneip 16872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  J  /\  y  e.  u )  ->  u  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
31 elssuni 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  J  ->  u  C_ 
U. J )
3231ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  u  C_  U. J
)
333sscls 16809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  C_  U. J )  ->  u  C_  (
( cls `  J
) `  u )
)
3426, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  u  C_  (
( cls `  J
) `  u )
)
353clsss3 16812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  C_  U. J )
3626, 32, 35syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  C_  U. J )
373ssnei2 16869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )  /\  (
u  C_  ( ( cls `  J ) `  u )  /\  (
( cls `  J
) `  u )  C_ 
U. J ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
3826, 30, 34, 36, 37syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
39 simprrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  C_  x )
40 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
4140elpw2 4191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  u )  e.  ~P x  <->  ( ( cls `  J ) `  u )  C_  x
)
4239, 41sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ~P x
)
43 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  J
) `  u )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  <->  ( (
( cls `  J
) `  u )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } )  /\  (
( cls `  J
) `  u )  e.  ~P x ) )
4438, 42, 43sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
458adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  J  e.  Comp )
463clscld 16800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4726, 32, 46syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ( Clsd `  J ) )
48 cmpcld 17145 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
( cls `  J
) `  u )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  u )
)  e.  Comp )
4945, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 u ) )  e.  Comp )
50 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( ( cls `  J ) `  u
)  ->  ( Jt  v
)  =  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  u )
) )
5150eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( ( cls `  J ) `  u
)  ->  ( ( Jt  v )  e.  Comp  <->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  u )
)  e.  Comp )
)
5251rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  u )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  u
) )  e.  Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp )
5344, 49, 52syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp )
5453expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J ) `
 u )  C_  x )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp ) )
5554rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp ) )
5625, 55mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp )
5756ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp )
58 isnlly 17211 . 2  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp )
)
592, 57, 58sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647   Clsdccld 16769   clsccl 16771   neicnei 16850   Hauscha 17052   Compccmp 17129  𝑛Locally cnlly 17207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cls 16774  df-nei 16851  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-nlly 17209
  Copyright terms: Public domain W3C validator