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Theorem hauspwpwf1 17972
Description: Lemma for hauspwpwdom 17973. Points in the closure of a set in a Hausdorff space are characterized by the open neighborhoods they extend into the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hauspwpwf1.x  |-  X  = 
U. J
hauspwpwf1.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } )
Assertion
Ref Expression
hauspwpwf1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  F : ( ( cls `  J ) `  A
) -1-1-> ~P ~P A )
Distinct variable groups:    j, a, x, A    J, a, j, x    j, X, x
Allowed substitution hints:    F( x, j, a)    X( a)

Proof of Theorem hauspwpwf1
Dummy variables  k 
l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  i^i  A )  C_  A
2 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  j  e. 
_V
32inex1 4304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  i^i  A )  e. 
_V
43elpw 3765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  i^i  A )  e.  ~P A  <->  ( j  i^i  A )  C_  A
)
51, 4mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  ( j  i^i  A )  e. 
~P A
6 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( j  i^i 
A )  ->  (
a  e.  ~P A  <->  ( j  i^i  A )  e.  ~P A ) )
75, 6mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( j  i^i 
A )  ->  a  e.  ~P A )
87adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  -> 
a  e.  ~P A
)
98rexlimivw 2786 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  -> 
a  e.  ~P A
)
109abssi 3378 . . . . 5  |-  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  C_  ~P A
11 haustop 17349 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
12 hauspwpwf1.x . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
1312topopn 16934 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
1411, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Haus  ->  X  e.  J )
15 ssexg 4309 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  A  e.  _V )
1614, 15sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  J  e.  Haus )  ->  A  e.  _V )
1716ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
18 pwexg 4343 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P A  e.  _V )
19 elpw2g 4323 . . . . . 6  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  e.  ~P ~P A  <->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } 
C_  ~P A ) )
2017, 18, 193syl 19 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  ( { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  e.  ~P ~P A  <->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } 
C_  ~P A ) )
2110, 20mpbiri 225 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  e.  ~P ~P A )
2221a1d 23 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  ->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  e.  ~P ~P A
) )
23 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  J  e.  Haus )
2412clsss3 17078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  X )
2511, 24sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )
27 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
2826, 27sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  X )
29 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
3026, 29sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  X )
31 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  =/=  y )
3212hausnei 17346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  =/=  y ) )  ->  E. k  e.  J  E. l  e.  J  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l
)  =  (/) ) )
3323, 28, 30, 31, 32syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  E. k  e.  J  E. l  e.  J  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) )
34 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  -> 
k  e.  J )
35 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  k )
36 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  -> 
( k  i^i  A
)  =  ( k  i^i  A ) )
37 elequ2 1726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (
x  e.  j  <->  x  e.  k ) )
38 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
j  i^i  A )  =  ( k  i^i 
A ) )
3938eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (
( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A )  <->  ( k  i^i  A )  =  ( k  i^i  A ) ) )
4037, 39anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  (
( x  e.  j  /\  ( k  i^i 
A )  =  ( j  i^i  A ) )  <->  ( x  e.  k  /\  ( k  i^i  A )  =  ( k  i^i  A
) ) ) )
4140rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  J  /\  ( x  e.  k  /\  ( k  i^i  A
)  =  ( k  i^i  A ) ) )  ->  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  (
k  i^i  A )  =  ( j  i^i 
A ) ) )
4234, 35, 36, 41syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  ->  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) ) )
43 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
4443inex1 4304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  i^i  A )  e. 
_V
45 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( k  i^i 
A )  ->  (
a  =  ( j  i^i  A )  <->  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A ) ) )
4645anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( k  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  <->  ( x  e.  j  /\  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A
) ) ) )
4746rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( k  i^i 
A )  ->  ( E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  (
j  i^i  A )
)  <->  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) ) ) )
4844, 47elab 3042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  i^i  A )  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  (
j  i^i  A )
) }  <->  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  (
k  i^i  A )  =  ( j  i^i 
A ) ) )
4942, 48sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  -> 
( k  i^i  A
)  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) } )
5011ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  J  e.  Top )
5150ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  J  e.  Top )
52 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  A  C_  X )
5352ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  A  C_  X )
54 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
5554ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
56 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  e.  J  /\  l  e.  J
)  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) )  -> 
l  e.  J )
5756ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  l  e.  J )
58 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  j  e.  J )
59 inopn 16927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  l  e.  J  /\  j  e.  J )  ->  ( l  i^i  j
)  e.  J )
6051, 57, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  (
l  i^i  j )  e.  J )
61 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( k  e.  J  /\  l  e.  J
)  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) )  -> 
y  e.  l )
6261ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  y  e.  l )
63 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  y  e.  j )
64 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( l  i^i  j )  <->  ( y  e.  l  /\  y  e.  j ) )
6562, 63, 64sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  y  e.  ( l  i^i  j
) )
6612clsndisj 17094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) )  /\  ( ( l  i^i  j )  e.  J  /\  y  e.  (
l  i^i  j )
) )  ->  (
( l  i^i  j
)  i^i  A )  =/=  (/) )
6751, 53, 55, 60, 65, 66syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  (
( l  i^i  j
)  i^i  A )  =/=  (/) )
68 n0 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( l  i^i  j
)  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i  A
) )
6967, 68sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  E. z 
z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i  A ) )
70 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i 
A )  <->  ( z  e.  ( l  i^i  j
)  /\  z  e.  A ) )
71 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( l  i^i  j )  <->  ( z  e.  l  /\  z  e.  j ) )
7271anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( l  i^i  j )  /\  z  e.  A )  <->  ( ( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) )
7370, 72bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i 
A )  <->  ( (
z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A
) )
74 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( j  i^i 
A )  <->  ( z  e.  j  /\  z  e.  A ) )
7574biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  j  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( j  i^i  A ) )
7675adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( j  i^i  A
) )
7776ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  z  e.  ( j  i^i  A ) )
78 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  l )
7978ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  z  e.  l )
80 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  e.  J  /\  l  e.  J
)  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) )  -> 
( k  i^i  l
)  =  (/) )
8180ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  ( k  i^i  l )  =  (/) )
82 minel 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  l  /\  ( k  i^i  l
)  =  (/) )  ->  -.  z  e.  k
)
83 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  i^i  A )  C_  k
8483sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( k  i^i 
A )  ->  z  e.  k )
8582, 84nsyl 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  l  /\  ( k  i^i  l
)  =  (/) )  ->  -.  z  e.  (
k  i^i  A )
)
8679, 81, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  -.  z  e.  ( k  i^i  A
) )
87 nelneq2 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ( j  i^i  A )  /\  -.  z  e.  (
k  i^i  A )
)  ->  -.  (
j  i^i  A )  =  ( k  i^i 
A ) )
8877, 86, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  -.  ( j  i^i  A )  =  ( k  i^i  A ) )
89 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  i^i  A )  =  ( k  i^i 
A )  <->  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A ) )
9088, 89sylnib 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( ( j  e.  J  /\  y  e.  j )  /\  (
( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A ) ) )  ->  -.  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A ) )
9190expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  (
( ( z  e.  l  /\  z  e.  j )  /\  z  e.  A )  ->  -.  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) ) )
9273, 91syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  (
z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i  A )  ->  -.  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) ) )
9392exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  ( E. z  z  e.  ( ( l  i^i  j )  i^i  A
)  ->  -.  (
k  i^i  A )  =  ( j  i^i 
A ) ) )
9469, 93mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  ( j  e.  J  /\  y  e.  j
) )  ->  -.  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) )
9594anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  /\  (
( k  e.  J  /\  l  e.  J
)  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  j  e.  J
)  /\  y  e.  j )  ->  -.  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) )
96 nan 564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  /\  (
( k  e.  J  /\  l  e.  J
)  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  (
k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  j  e.  J
)  ->  -.  (
y  e.  j  /\  ( k  i^i  A
)  =  ( j  i^i  A ) ) )  <->  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  j  e.  J )  /\  y  e.  j
)  ->  -.  (
k  i^i  A )  =  ( j  i^i 
A ) ) )
9795, 96mpbir 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  /\  j  e.  J )  ->  -.  ( y  e.  j  /\  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A
) ) )
9897nrexdv 2769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  ->  -.  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  ( k  i^i 
A )  =  ( j  i^i  A ) ) )
9945anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( k  i^i 
A )  ->  (
( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  <->  ( y  e.  j  /\  ( k  i^i  A )  =  ( j  i^i  A
) ) ) )
10099rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( k  i^i 
A )  ->  ( E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  <->  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  ( k  i^i 
A )  =  ( j  i^i  A ) ) ) )
10144, 100elab 3042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  i^i  A )  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  <->  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  (
k  i^i  A )  =  ( j  i^i 
A ) ) )
10298, 101sylnibr 297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  ->  -.  ( k  i^i  A
)  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) } )
103 nelne1 2656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  i^i  A
)  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  /\  -.  ( k  i^i  A
)  e.  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) } )  ->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  (
j  i^i  A )
) }  =/=  {
a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } )
10449, 102, 103syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( (
k  e.  J  /\  l  e.  J )  /\  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) ) ) )  ->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  =/=  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } )
105104expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ) )  /\  x  =/=  y
)  /\  ( k  e.  J  /\  l  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l )  =  (/) )  ->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  =/=  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } ) )
106105rexlimdvva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  ( E. k  e.  J  E. l  e.  J  ( x  e.  k  /\  y  e.  l  /\  ( k  i^i  l
)  =  (/) )  ->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  =/=  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } ) )
10733, 106mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  A  C_  X
)  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  /\  x  =/=  y )  ->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  =/=  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } )
108107ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  (
x  =/=  y  ->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  =/=  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } ) )
109108necon4d 2630 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  ( { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  =  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  ->  x  =  y ) )
110 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  j  <->  y  e.  j ) )
111110anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) )  <->  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) ) )
112111rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  (
j  i^i  A )
)  <->  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) ) )
113112abbidv 2518 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A
) ) }  =  { a  |  E. j  e.  J  (
y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } )
114109, 113impbid1 195 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
) )  ->  ( { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  =  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  <->  x  =  y ) )
115114ex 424 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  (
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( {
a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) }  =  { a  |  E. j  e.  J  ( y  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) }  <->  x  =  y ) ) )
11622, 115dom2lem 7106 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  ( x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i 
A ) ) } ) : ( ( cls `  J ) `
 A ) -1-1-> ~P ~P A )
117 hauspwpwf1.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } )
118 f1eq1 5593 . . 3  |-  ( F  =  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } )  ->  ( F : ( ( cls `  J ) `  A
) -1-1-> ~P ~P A  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } ) : ( ( cls `  J ) `
 A ) -1-1-> ~P ~P A ) )
119117, 118ax-mp 8 . 2  |-  ( F : ( ( cls `  J ) `  A
) -1-1-> ~P ~P A  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  |->  { a  |  E. j  e.  J  (
x  e.  j  /\  a  =  ( j  i^i  A ) ) } ) : ( ( cls `  J ) `
 A ) -1-1-> ~P ~P A )
120116, 119sylibr 204 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  A  C_  X )  ->  F : ( ( cls `  J ) `  A
) -1-1-> ~P ~P A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413   Topctop 16913   clsccl 17037   Hauscha 17326
This theorem is referenced by:  hauspwpwdom  17973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-top 16918  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-haus 17333
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