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Theorem haust1 17096
Description: A Hausdorff space is a T1 space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
haust1  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )

Proof of Theorem haust1
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
21hausnei 17072 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
3 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  z )
4 noel 3472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  y  e.  (/)
5 simprr3 1005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
65eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w
)  <->  y  e.  (/) ) )
74, 6mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  -.  y  e.  ( z  i^i  w
) )
8 simprr2 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  w )
9 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( y  e.  z  /\  y  e.  w ) )
109simplbi2com 1364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  w  ->  (
y  e.  z  -> 
y  e.  ( z  i^i  w ) ) )
118, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  z  ->  y  e.  ( z  i^i  w
) ) )
127, 11mtod 168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  -.  y  e.  z )
133, 12jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) )
1413expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  w  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) ) )
1514rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  /\  z  e.  J )  ->  ( E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) ) )
1615reximdva 2668 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) ) )
172, 16mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) )
18 rexanali 2602 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z
)  <->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) )
1917, 18sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  -> 
y  e.  z ) )
20193exp2 1169 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( x  e.  U. J  -> 
( y  e.  U. J  ->  ( x  =/=  y  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) ) ) )
2120imp32 422 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
) )  ->  (
x  =/=  y  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
2221necon4ad 2520 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
2322ralrimivva 2648 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
24 haustop 17075 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
251toptopon 16687 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
2624, 25sylib 188 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
27 ist1-2 17091 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
2826, 27syl 15 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
2923, 28mpbird 223 1  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164   (/)c0 3468   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Frect1 17051   Hauscha 17052
This theorem is referenced by:  sncld  17115  ishaus3  17530  reghaus  17532  nrmhaus  17533  tgpt1  17816  metreg  18383  ipasslem8  21431  onint1  24960  oninhaus  24961  hst1  25690  dtt1  25691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-t1 17058  df-haus 17059
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