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Theorem haust1 17418
Description: A Hausdorff space is a T1 space. (Contributed by FL, 11-Jun-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
haust1  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )

Proof of Theorem haust1
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
21hausnei 17394 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
3 simprr1 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  z )
4 noel 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  y  e.  (/)
5 simprr3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
65eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  ( z  i^i  w
)  <->  y  e.  (/) ) )
74, 6mtbiri 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  -.  y  e.  ( z  i^i  w
) )
8 simprr2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  w )
9 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( y  e.  z  /\  y  e.  w ) )
109simplbi2com 1384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  w  ->  (
y  e.  z  -> 
y  e.  ( z  i^i  w ) ) )
118, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  z  ->  y  e.  ( z  i^i  w
) ) )
127, 11mtod 171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  -.  y  e.  z )
133, 12jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y ) )  /\  z  e.  J )  /\  ( w  e.  J  /\  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) )
1413rexlimdvaa 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  /\  z  e.  J )  ->  ( E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) ) )
1514reximdva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  z  /\  y  e.  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) ) )
162, 15mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z ) )
17 rexanali 2753 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  J  ( x  e.  z  /\  -.  y  e.  z
)  <->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) )
1816, 17sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  -> 
y  e.  z ) )
19183exp2 1172 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( x  e.  U. J  -> 
( y  e.  U. J  ->  ( x  =/=  y  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) ) ) )
2019imp32 424 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
) )  ->  (
x  =/=  y  ->  -.  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
2120necon4ad 2667 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
2221ralrimivva 2800 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) )
23 haustop 17397 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
241toptopon 17000 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
2523, 24sylib 190 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
26 ist1-2 17413 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
2725, 26syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z )  ->  x  =  y ) ) )
2822, 27mpbird 225 1  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321   (/)c0 3630   U.cuni 4017   ` cfv 5456   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   Frect1 17373   Hauscha 17374
This theorem is referenced by:  sncld  17437  ishaus3  17857  reghaus  17859  nrmhaus  17860  tgpt1  18149  metreg  18895  ipasslem8  22340  sitmcl  24665  onint1  26201  oninhaus  26202
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-topgen 13669  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-t1 17380  df-haus 17381
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