MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haustsms Unicode version

Theorem haustsms 18086
Description: A Hausdorff group has at most one limit point for a given sum. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmscl.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmscl.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmscl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmscl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
haustsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
haustsms.h  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
Assertion
Ref Expression
haustsms  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( G tsums  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G    x, J    ph, x
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem haustsms
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustsms.h . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
2 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
3 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y 
C_  z } )  =  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } )
4 eqid 2387 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } )  =  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } )
5 tsmscl.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
62, 3, 4, 5tsmsfbas 18078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } )  e.  (
fBas `  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
7 fgcl 17831 . . . 4  |-  ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } )  e.  (
fBas `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
9 tsmscl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
10 tsmscl.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
11 tsmscl.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
129, 2, 10, 5, 11tsmslem1 18079 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  B
)
13 tsmscl.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
14 haustsms.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
159, 14tpsuni 16926 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp  ->  B  =  U. J )
1613, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
1716adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  B  =  U. J )
1812, 17eleqtrd 2463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  U. J )
19 eqid 2387 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  =  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
2018, 19fmptd 5832 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> U. J
)
21 eqid 2387 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2221hausflf 17950 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
)  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> U. J
)  ->  E* x  x  e.  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) ) ) `
 ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) ) )
231, 8, 20, 22syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) ) ) `
 ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) ) )
249, 14, 2, 4, 10, 5, 11tsmsval 18081 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( J 
fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) ) ) `
 ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) ) )
2524eleq2d 2454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) ) ) `
 ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) ) ) )
2625mobidv 2273 . 2  |-  ( ph  ->  ( E* x  x  e.  ( G tsums  F
)  <->  E* x  x  e.  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) ) ) `
 ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) ) ) )
2723, 26mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E*wmo 2239   {crab 2653    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742   U.cuni 3957    e. cmpt 4207   ran crn 4819    |` cres 4820   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   Basecbs 13396   TopOpenctopn 13576    gsumg cgsu 13651  CMndccmn 15339   fBascfbas 16615   filGencfg 16616   TopSpctps 16884   Hauscha 17294   Filcfil 17798    fLimf cflf 17888   tsums ctsu 18076
This theorem is referenced by:  haustsms2  18087  taylf  20144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mnd 14617  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-top 16886  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-nei 17085  df-haus 17301  df-fil 17799  df-flim 17892  df-flf 17893  df-tsms 18077
  Copyright terms: Public domain W3C validator